Θεωρία: Τριγωνομετρικές Σχέσεις και Νόμοι

Spend at least 40 mins on this activity

Νόμοι τριγωνομετρίας

Νόμος ημιτόνων

Νόμοι τριγωνομετρίας

Στο οξυγώνιο τρίγωνο φέρουμε το ύψος ΓΔ. Από τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΔΓ και ΓΔΒ έχουμε:

eta mu capital alpha equals fraction numerator capital gamma capital delta over denominator beta end fraction eta mu capital beta equals fraction numerator capital gamma capital delta over denominator alpha end fraction

Διαιρούμε κατά μέλη τις σχέσεις και παίρνουμε:

fraction numerator eta mu capital alpha over denominator eta mu capital beta end fraction equals fraction numerator fraction numerator capital gamma capital delta over denominator beta end fraction over denominator fraction numerator capital gamma capital delta over denominator alpha end fraction end fraction fraction numerator eta mu capital alpha over denominator eta mu capital beta end fraction equals fraction numerator left parenthesis capital gamma capital delta right parenthesis times alpha over denominator left parenthesis capital gamma capital delta right parenthesis times beta end fraction fraction numerator eta mu capital alpha over denominator eta mu capital beta end fraction equals alpha over beta fraction numerator alpha over denominator eta mu capital alpha end fraction equals fraction numerator beta over denominator eta mu capital beta end fraction

Αντίστοιχα συμπεραίνουμε ότι fraction numerator gamma over denominator eta mu capital gamma end fraction equals fraction numerator beta over denominator eta mu capital beta end fraction

Αν και αποδείξαμε μόνο σε οξυγώνιο τρίγωνο  ισχύει σε κάθε τρίγωνο ο νόμος των ημιτόνων fraction numerator bold alpha over denominator bold eta bold mu bold capital alpha end fraction bold equals fraction numerator bold beta over denominator bold eta bold mu bold capital beta end fraction bold equals fraction numerator bold gamma over denominator bold eta bold mu bold capital gamma end fraction

Νόμος συνημιτόνων

Στο οξυγώνιο τρίγωνο φέρουμε το ύψος ΓΔ, τότε από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΒΓ έχουμε: 

alpha squared equals capital gamma capital delta squared plus capital delta capital beta blank squared

Όμως capital delta capital beta equals gamma minus capital alpha capital delta

Έτσι:

alpha squared equals capital gamma capital delta squared plus left parenthesis gamma minus capital alpha capital delta right parenthesis squared equals space capital gamma capital delta squared plus gamma squared plus capital alpha capital delta squared minus 2 gamma capital alpha capital delta 

στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΑΓ έχουμε: 

capital delta capital gamma squared plus capital alpha capital delta squared equals beta squared και

sigma upsilon nu capital alpha equals fraction numerator capital alpha capital delta over denominator beta end fraction space ή space capital alpha capital delta equals beta sigma upsilon nu capital alpha

Άρα η προηγούμενη σχέση γράφεται:

 alpha squared equals left parenthesis capital gamma capital delta squared plus capital alpha capital delta squared right parenthesis space plus gamma squared minus 2 gamma capital alpha capital delta  ή 

alpha to the power of bold 2 bold equals bold italic beta to the power of bold 2 bold plus bold italic gamma to the power of bold 2 bold minus bold 2 bold italic beta bold italic gamma bold italic sigma bold italic upsilon bold italic nu bold italic capital alpha

Αν και αποδείξαμε μόνο σε οξυγώνιο τρίγωνο  ισχύει σε κάθε τρίγωνο ο νόμος συνημιτόνων alpha to the power of bold 2 bold equals bold italic beta to the power of bold 2 bold plus bold italic gamma to the power of bold 2 bold minus bold 2 bold italic beta bold italic gamma bold italic sigma bold italic upsilon bold italic nu bold italic capital alpha bold italic beta to the power of bold 2 bold equals bold italic alpha to the power of bold 2 bold plus bold italic gamma to the power of bold 2 bold minus bold 2 bold italic alpha bold italic gamma bold italic sigma bold italic upsilon bold italic nu bold italic capital beta bold italic gamma to the power of bold 2 bold equals bold italic alpha to the power of bold 2 bold plus bold italic beta to the power of bold 2 bold minus bold 2 bold italic alpha bold italic beta bold italic sigma bold italic upsilon bold italic nu bold italic capital gamma

Στο παράδειγμα ...εδώ... θα δείτε εφαρμογή με τον νόμο ημιτόνων.

Στο παράδειγμα ...εδώ... θα δείτε εφαρμογή με τον νόμο συνημιτόνων.