Το λεξικό "Μαθηματική ορολογία"
Το λεξικό "Μαθηματική ορολογία"
Ειδικά | Α | Β | Γ | Δ | Ε | Ζ | Η | Θ | Ι | Κ | Λ | Μ | Ν | Ξ | Ο | Π | Ρ | Σ | Τ | Υ | Φ | Χ | Ψ | Ω | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ΟΛΑ
Σελίδα: (Προηγούμενο) 1 2 3 (Επόμενο)
ΟΛΑ
Δ |
---|
ΔύναμηΔυνάμεις ρητών αριθμών με φυσικό εκθέτη
Πρόσημο δύναμης
Δυνάμεις ρητών αριθμών με ακέραιο εκθέτη
$$\left( \frac{ \alpha }{ \beta } \right)^{-\ ν}$$=$$\left( \frac{ \beta }{ \alpha } \right)^{\ ν}$$ , $$\left( \frac{ 2 }{ 3 } \right)^{-\ 5}$$=$$\left( \frac{ 3 }{ 2 } \right)^{\ 5}$$
Ιδιότητες δυνάμεων
32 · 33 = 35, 32 · 3- 3 = 3- 1 = $$ \frac{1}{3} $$
32 : 33 = 3-1 = $$ \frac{1}{3} $$, 32 : 3- 3 = 32 - (-3) = 35
(2 · 3)5 = 25 · 35, 25 · 35 = (2 · 3)5 = 65
$$ \frac{4}{25} = \frac{2^{2}}{5^{2}} =\left( \frac{2}{5} \right)^{2}$$
$$4^{3}=\left(2^{2}\right)^{3}=2^{6}$$ | |
Ε |
---|
ΕξίσωσηΟνομάζουμε εξίσωση την ισότητα δύο αλγεβρικών παραστάσεων που περιέχουν τουλάχιστον μια μεταβλητή που ονομάζεται άγνωστος.
Εξίσωση πρώτου βαθμούΈχει τη μορφή $$\beta x + \gamma = 0$$.
Αν $$\beta \ne 0$$, τότε; η εξίσωση $$\beta x + \gamma = 0$$ έχει μοναδική λύση την $$x = - \frac{\gamma }{\beta }$$.
Δες σε παράδειγμα τον αλγόριθμο επίλυσης εξίσωσης πρώτου βαθμού ... εδώ. Δες σε παράδειγμα τη διαδικασία επίλυσης προβλήματος με τη χρήση εξίσωσης πρώτου βαθμού ... εδώ.
Εξίσωση δευτέρου βαβμούΣτην εξίσωση $$\alpha {x^2} + \beta x + \gamma = 0$$, η Διακρίνουσα $$\Delta = \sqrt {{\beta ^2} - 4a\gamma } $$ καθορίζει τις ρίζες της εξίσωσης:
Δες αναλυτικά τη θεωρία για την εξίσωση δευτέρου βαθμού ... εδώ.
Παραγοντοποίηση και εξισώσειςΗ παραγοντοποίηση οδηγεί σε παραστάσεις που περιέχουν μόνο γινόμενα $${\rm A} \cdot {\rm B} \cdot \Gamma ...$$. Έτσι η εξίσωση $${\rm A} \cdot {\rm B} \cdot \Gamma ... = 0$$ έχει τις λύσεις: $${\rm A} = 0$$ ή $${\rm B} = 0$$ ή $$\Gamma = 0$$ $$...$$ $${x^2} - 49 = 0 \to {x^2} - {7^2} = 0 \to (x - 7)(x + 7) = 0 \to x - 7 = 0$$ ή $$x + 7 = 0$$ $$ \to $$ $$x = 7$$ ή $$x = - 7$$
Κλασματική εξίσωσηΗ εξίσωση, που περιέχει ένα τουλάχιστον κλάσμα με άγνωστο στον παρονομαστή και η οποία ονομάζεται κλασματική εξίσωση. $$ \frac{4}{x+2} + \frac{4}{x} = \frac{x+8}{x^{2}} $$ Για να ορίζονται οι όροι μιας κλασματικής εξίσωσης πρέπει όλοι οι παρονομαστές να είναι διάφοροι του μηδενός. Στην προηγούμενη εξίσωση πρέπει $$x \neq 0$$ και $$x \neq -2$$ Στις κλασματικές εξισώσεις που περιέχουν σύνθετα κλάσματα πρέπει όλοι οι εμφανιζόμενοι παρονομαστές να είναι διάφοροι του μηδενός. Στην εξίσωση $$ \frac{1}{1+ \frac{1}{x} } =5$$ πρέπει $$x \neq 0$$ και $$x \neq -1$$ ( $$ \frac{1}{1+ \frac{1}{x} } = \frac{1}{ \frac{x+1}{x} } = \frac{x}{x+1} $$) Δες παράδειγμα με την αναλυτική λύση κλασματκής εξίσωσης.... εδώ. Δες παράδειγμα επίλυσης προβλήματος με χρήση κλασματκής εξίσωσης.... εδώ. | |
Ι |
---|
ΙδιότηταΙδιότητες των πράξεωνΟυδέτερο στοιχείο
Καταστροφικό στοιχείο
Απαγορεύεται
Αντίθετοι αριθμοί
Αντίστροφοι αριθμοί
Αντιμεταθετική ιδιότητα
Προσεταιριστική ιδιότητα
Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς
| |
ΙσότηταΙδιότητες ισότηταςΧρήσιμες ιδιότητες πράξεων | |
Μ |
---|
Μ.Κ.Δ.Μ.Κ.Δ. ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεωνΜέγιστος Κοινός Διαιρέτης ( Μ.Κ.Δ. ) δύο ή περισσοτέρων ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ονομάζεται, το γινόμενο των κοινών παραγόντων τους με εκθέτη καθενός το μικρότερο από τους εκθέτες του. Παράδειγμα Μ.Κ.Δ. (6(x2 - y2), 4(x2 - 2χy + y2), 12(x - y)3} = ? Αναλύουμε τις παραστάσεις και τους συντελεστές τους σε γινόμενα πρώτων παραγόντων: $$6\left( {{x^2} - {y^2}} \right) = 2 \cdot 3(x - y)(x + y)$$ $$12{(x - y)^3} = {2^2} \cdot 3{(x - y)^3}$$ $$4({x^2} - 2xy + {y^2}) = {2^2}{(x - y)^2}$$ $${\rm M}.{\rm K}.\Delta .\left( {2 \cdot 3(x - y)(x + y){{,2}^2}{{(x - y)}^2},\,\,{2^2} \cdot 3{{(x - y)}^3}} \right) = 2(x - y)$$
| |
Μεταβλητήλέγεται ένα γράμμα π.χ x,y,z,ω,…( ελληνικό ή λατινικό) που παριστάνει έναν οποιοδήποτε αριθμό. Χρησιμοποιώντας μεταβλητές "μεταφράζουμε" μια φράση σε Αλγεβρική παράσταση. Παράδειγμα: Το άθροισμα δύο αριθμών πολλαπλασιασμένο επί 9. Αν συμβολίσουμε τους αριθμούς x και y τότε το άθροισμά τους είναι x+y και η ζητούμενη αλγεβρική παράσταση 9(x+y).
| |
ΜονώνυμοΜια Ακέραια αλγεβρική παράσταση λέγεται Μονώνυμο, όταν μεταξύ των μεταβλητών της
Για παράδειγμα οι παραστάσεις $$ - 2{x^2}y,\,\,(3 - \sqrt 2 )x{y^3}\,$$ είναι μονώνυμα ενώ οι $$ - 2{x^2}\sqrt y ,\,\,3 - \sqrt 2 x{y^3},\,\,\frac{x}{y}$$ δεν είναι. Ορολογία
.
Πράξεις μονωνύμωνΤο άθροισμα ομοίων μονωνύμων είναι μονώνυμο όμοιο με αυτά και έχει συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών τους (Αναγωγή ομοίων όρων). $$2\sqrt 3 {x^2}y - \,\,(2 - \sqrt 3 ){x^2}y - \,\,{x^2}y = $$ Το γινόμενο μονωνύμων είναι μονώνυμο με:
$$2\sqrt 3 {x^2}y\omega \cdot \,( - \frac{1}{6})x{y^2} = $$ Για να διαιρέσουμε μονώνυμα πολλαπλασιάζουμε τον διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη. $$2\sqrt 3 {x^2}y:\,\left[ {( - \frac{1}{6})x{y^2}\omega } \right] = $$ $$2\sqrt 3 {x^2}y \cdot \,\frac{1}{{( - \frac{1}{6})x{y^2}\omega }} = $$ $$\frac{{2\sqrt 3 }}{{( - \frac{1}{6})}} \cdot \frac{{{x^2}}}{x} \cdot \,\frac{y}{{{y^2}}} \cdot \frac{1}{\omega } = $$ $$ - 12\sqrt {3 \cdot } {x^{2 - 1}} \cdot {y^{1 - 2}} \cdot {\omega ^{ - 1}} = $$ $$\frac{{ - 12\sqrt 3 x}}{{y\omega }}$$ Στη διαίρεση μονωνύμων μπορεί να προκύψει μονώνυμο μικρότερου βαθμού ($$5{x^2}y:\,\,({x^{}}y) = 5x$$), σταθερό μονώνυμο ($$5{x^2}y:\,\,({x^2}y) = 5$$) ή μη ακέραια αλγεβρική παράσταση όπως στο παράδειγμα. | |
Π |
---|
ΠαραβολήΗ συνάρτηση y = αx2 με α ≠ 0.Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $$y= \alpha x^{2}$$ με είναι μια καμπύλη γραμμή που λέγεται παραβολή. Αν α > 0Η παραβολή βρίσκεται από τον άξονα x΄x και πάνω, που σημαίνει ότι για οποιαδήποτε τιμή του x ισχύει y ≥ 0. Η συνάρτηση παίρνει ελάχιστη τιμή y = 0, όταν x = 0. Αν α > 0Η παραβολή βρίσκεται από τον άξονα x΄x και κάτω, που σημαίνει ότι για οποιαδήποτε τιμή του x ισχύει y≤0 Η συνάρτηση παίρνει μέγιστη τιμή y = 0, όταν x = 0.
Η συνάρτηση y = αx2 + βx + γ με α ≠ 0.Ο άξονας συμμετρίας είναι η ευθεία (ε) : x = $$- \frac{ \beta }{2 \alpha } $$ H κορυφή της είναι το σημείο Κ ( $$- \frac{ \beta }{2 \alpha } ,- \frac{ \Delta }{4 \alpha } $$ ) Τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο Α ( 0 , γ ) Οι τετμημένες των σημείων τομής με τον άξονα x'x είναι οι λύσεις της δευτεροβάθμιας εξίσωσης $$0= \alpha x^{2}+ \beta x+ \gamma $$ $${x_{1,2}} = \frac{{ - \beta \pm \sqrt {{\beta ^2} - 4a\gamma } }}{{2a}}$$ Τέμνει λοιπόν τον x'x στο σημείο Β (x1 , 0 ) και στο σημείο Γ (x2 , 0 ).
Παραδείγματα
| |
ΠαραγοντοποίησηΗ διαδικασία με την οποία μια παράσταση, που είναι άθροισμα, μετατρέπεται σε γινόμενο παραγόντων, λέγεται παραγοντοποίηση. Αξιοσημείωτες παραγοντοποιήσειςΠαράσταση δύο όρωνΔιαφορά τετραγώνων: $${\rm{ }}{\alpha ^2} - {\rm{ }}{\beta ^2} = \left( {\alpha {\rm{ + }}\beta } \right)\left( {\alpha {\rm{ }} - {\rm{ }}\beta } \right)$$$$4{\beta ^2} - 25 = {\left( {2\beta } \right)^{}} - {5^2} = \left( {2\beta + 5} \right)\left( {2\beta - 5} \right)$$ $${\alpha ^6} - {\beta ^6} = {\left( {{\alpha ^3}} \right)^2} - {\left( {{\beta ^3}} \right)^2} = \left( {{\alpha ^3} + {\beta ^3}} \right)\left( {{\alpha ^3} - {\beta ^3}} \right) = \left( {\alpha {\rm{ + }}\beta } \right)\left( {{\alpha ^2}{\rm{ - }}\alpha \beta {\rm{ }} + {\rm{ }}{\beta ^2}} \right)\left( {\alpha {\rm{ + }}\beta } \right)\left( {{\alpha ^2}{\rm{ - }}\alpha \beta {\rm{ }} + {\rm{ }}{\beta ^2}} \right)$$ $${2014^2} - {1986^2} = (2000 + 14)(2000 - 14) = {2000^2} - {14^2} = 4.000.000 - 196 = 3.999.804$$ Διαφορά κύβων: $${\alpha ^3} - {\rm{ }}{\beta ^3} = \left( {\alpha {\rm{ }} - {\rm{ }}\beta } \right)\left( {{\alpha ^2} + {\rm{ }}\alpha \beta {\rm{ }} + {\rm{ }}{\beta ^2}} \right){\rm{ }}$$$${{\rm{x}}^{\rm{3}}} - 27 = {{\rm{x}}^{\rm{3}}} - {9^3} = \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + {3^2}} \right) = \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)$$ $${\alpha ^6} - {\beta ^6} = {\left( {{\alpha ^2}} \right)^3} - {\left( {{\beta ^2}} \right)^3} = \left( {{\alpha ^2} - {\beta ^2}} \right)\left[ {{{\left( {{\alpha ^2}} \right)}^2} + {\alpha ^2}{\beta ^2} + {{\left( {{\beta ^2}} \right)}^2}} \right] = \left( {{\alpha ^2} - {\beta ^2}} \right)\left[ {{\alpha ^4} + {\alpha ^2}{\beta ^2} + {\beta ^4}} \right]$$ Άθροισμα κύβων: $${\alpha ^3} - {\rm{ }}{\beta ^3} = \left( {\alpha {\rm{ }} - {\rm{ }}\beta } \right)\left( {{\alpha ^2} + {\rm{ }}\alpha \beta {\rm{ }} + {\rm{ }}{\beta ^2}} \right){\rm{ }}$$$${\alpha ^6} + {\beta ^6} = {\left( {{\alpha ^2}} \right)^3} + {\left( {{\beta ^2}} \right)^3} = \left( {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} \right)\left[ {{{\left( {{\alpha ^2}} \right)}^2} - {\alpha ^2}{\beta ^2} + {{\left( {{\beta ^2}} \right)}^2}} \right] = \left( {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} \right)\left[ {{\alpha ^4} - {\alpha ^2}{\beta ^2} + {\beta ^4}} \right]$$ Κοινός παράγοντας$${x^5} - x = x\left( {{x^4} - 1} \right) = x\left[ {{{\left( {{x^2}} \right)}^2} - {1^2}} \right] = x\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)$$ Παράσταση τριών όρωνΤέλειο τετράγωνο αθροίσματος ή διαφοράς: $${\alpha ^2} \pm {\rm{ }}2\alpha \beta {\rm{ }} + {\rm{ }}{\beta ^2} = {\left( {\alpha {\rm{ }} \pm {\rm{ }}\beta } \right)^2}$$$${y^4} - {\rm{ }}2{y^2} + {\rm{ }}1 = {\left( {{y^2}} \right)^2} - 2 \cdot \left( {{y^2}} \right) \cdot 1 = {\left( {{y^2} - 1} \right)^2}$$ $$25{\rm{ + }}10{x^3} + {\rm{ }}{x^6} = {5^2} + 2 \cdot 5 \cdot {x^3} + {\left( {{x^3}} \right)^2} = {\left( {5 + {x^3}} \right)^2}$$ Τριώνυμο της μορφής $${x^2} + (\alpha + \beta )x + \alpha \beta $$: $${x^2} + (\alpha + \beta )x + \alpha \beta = (x + \alpha )(x + \beta )$$$${x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}12{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}\left( {6{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}6 \cdot 2{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}6} \right)\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)$$ $${x^2} - 5x + 6 = {\rm{ }}{x^2} + \left( { - 3 - 2} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}( - 3) \cdot ( - 2){\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {x - 3} \right)\left( {x - 2{\rm{ }}} \right)$$ Τριώνυμο της μορφής $$\alpha {x^2} + \beta x + \gamma = 0$$ = $$a(x - {\rho _1})(x - {\rho _2})$$ με $${\rho _{1,2}} = \frac{{ - \beta \pm \sqrt {{b^2} - 4a\gamma } }}{{2a}}$$$$2{x^2} + 5x + 3$$. Η εξίσωση $$2{x^2} + 5x + 3 = 0$$ έχει δυο λύσεις, $${\rho _{1,2}} = \frac{{ - 5 \pm \sqrt {{5^2} - 4 \cdot 2 \cdot 3} }}{2}$$, τις $${\rho _1} = - 1$$ και $${\rho _1} = - \frac{3}{2}$$ Έτσι το τριώνυμο γίνεται: $$2{x^2} + 5x + 3 = 2\left[ {x - ( - 1)} \right]\left[ {x - \left( { - \frac{3}{2}} \right)} \right] = 2(x + 1)\left( {x + \frac{3}{2}} \right)$$ Κοινός παράγοντας$$ - 4{y^2} + 4y - 1 = - (4{y^2} - 4y + 1) = - \left[ {{{\left( {2y} \right)}^2} - 2 \cdot \left( {2y} \right) + {1^2}} \right] = - {\left( {2y - 1} \right)^2}$$ $$3{x^3} + 12{x^2} - 15x = 3x({x^2} + 4x - 5) = 3x\left[ {{x^2} + (5 - 1)x + ( - 1) \cdot ( + 5)} \right] = 3x(x + 5)(x - 1)$$ Παράσταση τεσσάρων όρωνΤέλειος κύβος αθροίσματος ή διαφοράς: $${\alpha ^3} \pm 3{\alpha ^2}\beta + 3\alpha {\beta ^2} \pm {\beta ^3} = {(\alpha \pm \beta )^3}$$$$1 - 4y + 8{y^2} - 8{y^3} = {1^3} - 2 \cdot {1^2} \cdot (2y) + 2 \cdot 1 \cdot {(2y)^2} - {(2y)^3} = {(1 - 2y)^3}$$ Ομαδοποίηση 3-1$${x^2} - 2x + 1 - {y^2} = ({x^2} - 2 \cdot x \cdot 1 + {1^2}) - {y^2} = {(x - 1)^2} - {y^2} = (x - 1 - y)(x - 1 + y)$$ Ομαδοποίηση 2-2$$9{x^3} + 9{x^2} - 4x - 4 = 9{x^2}(x + 1) - 4(x + 1) = (x + 1)(9{x^2} - 4) = (x + 1)\left[ {{{(3x)}^2} - {2^2}} \right] = (x + 1)(3x + 2)(3x - 2)$$ Διάσπαση ενός εκ των τριών όρων και δημιουργία τέταρτου$$3{x^2} + 5xy + 2{y^2} = 3{x^2} + 3xy + 2xy + 2{y^2} = 3x(x + y) + 2y(x + y) = (x + y)(3x + 2y)$$ $${\alpha ^4} + {\beta ^4} - 7{\alpha ^2}{\beta ^2} = {\alpha ^4} + {\beta ^4} + 2{\alpha ^2}{\beta ^2} - 9{\alpha ^2}{\beta ^2} = {\left( {{\alpha ^2}} \right)^2} + {\left( {{\beta ^2}} \right)^2} + 2{\alpha ^2}{\beta ^2} - {\left( {3\alpha \beta } \right)^2} = {\left( {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} \right)^2} - {\left( {3\alpha \beta } \right)^2} = \left( {{\alpha ^2} + {\beta ^2} - 3\alpha \beta } \right)\left( {{\alpha ^2} + {\beta ^2} + 3\alpha \beta } \right)$$ Παραγοντοποίηση και εξισώσειςΗ παραγοντοποίηση οδηγεί σε παραστάσεις που περιέχουν μόνο γινόμενα $${\rm A} \cdot {\rm B} \cdot \Gamma ...$$. Έτσι η εξίσωση $${\rm A} \cdot {\rm B} \cdot \Gamma ... = 0$$ έχει τις λύσεις: $${\rm A} = 0$$ ή $${\rm B} = 0$$ ή $$\Gamma = 0$$ $$...$$ $${x^2} - 49 = 0 \to {x^2} - {7^2} = 0 \to (x - 7)(x + 7) = 0 \to x - 7 = 0$$ ή $$x + 7 = 0$$ $$ \to $$ $$x = 7$$ ή $$x = - 7$$ | |
Σελίδα: (Προηγούμενο) 1 2 3 (Επόμενο)
ΟΛΑ