Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του   0, α, 2α, 3α, 4α ... με όλους τους φυσικούς αριθμούς.

• Κάθε φυσικός αριθμός διαιρεί τα πολλαπλάσιά του.
• Κάθε φυσικός που διαιρείται από έναν άλλο είναι πολλαπλάσιό του.
• Αν ένας φυσικός διαιρεί έναν άλλον θα διαιρεί και τα πολλαπλάσιά του.
• Διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού α λέγονται όλοι οι αριθμοί που τον διαιρούν.
  • Κάθε αριθμός α έχει διαιρέτες του αριθμούς 1 και α.

Κριτήρια Διαιρετότητας
Πρώτοι αριθμοί
Ε.Κ.Π.
Μ.Κ.Δ.

Δυνάμεις φυσικών αριθμών με φυσικό εκθέτη

• Το γινόμενο α·α·α· ... · α, που έχει ν παράγοντες ίσους με το α, λέγεται δύναμη του α στη ν ή νιοστή δύναμη του α και συμβολίζεται με α^ν.
• Ο αριθμός α λέγεται βάση της δύναμης και ο ν λέγεται εκθέτης.
• Για ν = 1, γράφουμε α⁰ = 1
• Για ν = 1, γράφουμε α¹ = α
• Η δύναμη α^ν διαβάζεται και νιοστή δύναμη του α.
• Η δύναμη α² λέγεται και τετράγωνο του α ή α στο τετράγωνο.
• Η δύναμη α³ λέγεται κύβος του α ή α στον κύβο.

Ε.Κ.Π. φυσικών αριθμών

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) δύο ή περισσοτέρων φυσικών αριθμών που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ονομάζεται, το γινόμενο των κοινών και μη κοινών παραγόντων τους με εκθέτη καθενός το μεγαλύτερο από τους εκθέτες του.

Παράδειγμα

Δίνονται οι αριθμοί 720, 540 και 360. Αναλύουμε τους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων:

720 = 2·360 = 2·2·180 = 2·2·2·90 = 2·2·2·2·45 = 2⁴·3·15 = 2⁴·3·3·5 =  2⁴·3²·5¹

360 = 2·180 = 2·2·90 = 2·2·2·45 = 2³·3·15 = 2³·3·3·5 =  2³·3²·5¹

540 = 2·270 = 2·2·135 = 2²·3·45 = 2²·3·3·15 = 2²·3·3·3·5 =  2²·3³·5¹

E.Κ.Π.(  720, 540, 630) = E.Κ.Π.( 2⁴·3²·5¹,  2²·3³·5¹, 2³·3²·5¹) = 2⁴·3³·5¹=2160

Ένας πιο απλός τρόπος:

• Πολλαπλάσια 720 : 720 , 1440 , 2160 , 2880 ...
• Πολλαπλάσια 360 : 360 , 720 , 1080 , 1440 , 1800 , 2160 , 2520 ...
• Πολλαπλάσια 540 : 540 , 1080 , 1620 , 2160 , 2520 ..

Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: 

• Ο αριθμός Δ λέγεται διαιρετέος, ο δ λέγεται διαιρέτης, ο αριθμός π ονομάζεται πηλίκο και το υ υπόλοιπο της διαίρεσης.
  • Ο διαιρέτης δ μιας διαίρεσης δεν μπορεί να είναι 0.  
  • Όταν Δ = δ, τότε το πηλίκο π = 1.  
  • Όταν ο διαιρέτης δ = 1, τότε το πηλίκο π = Δ.  
  • Όταν ο διαιρετέος Δ = 0, τότε το πηλίκο π = 0.  
• Το υπόλοιπο είναι αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος του μηδενός και πάντα μικρότερος του διαιρέτη:  
• Αν το υπόλοιπο υ είναι 0, τότε λέμε ότι έχουμε μία Τέλεια Διαίρεση: 

Ιδιότητες των πράξεων

Ουδέτερο στοιχείο

• Στην πρόσθεση είναι το μηδέν: 
  
• Στον πολλαπλασιασμό είναι το ένα: 
  

Καταστροφικό στοιχείο

• Στον πολλαπλασιασμό είναι το μηδέν: 
  

Απαγορεύεται

• Η διαίρεση με το μηδέν: Η διαίρεση επιτρέπεται μόνο αν 

Αντίστροφοι αριθμοί

• α·β=β·α=1 ή  ή 

Αντιμεταθετική ιδιότητα

• Στην πρόσθεση: 
• Στον πολλαπλασιασμό: 

Προσεταιριστική ιδιότητα

• Στην πρόσθεση:
• Στον πολλαπλασιασμό: 

Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς

• την πρόσθεση: (α + β) · γ = α · γ + β · γ.  Mπορεί να γραφεί και στη μορφή: α · γ + β · γ= (α + β) · γ  
• την αφαίρεση: (α - β) · γ = α · γ - β · γ.  Mπορεί να γραφεί και στη μορφή: α · γ - β · γ= (α - β) · γ   
• Η δεύτερες μορφές βοηθούν στην Αναγωγή ομοίων όρων.

Μ.Κ.Δ. φυσικών αριθμών

Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης ( Μ.Κ.Δ. ) δύο ή περισσοτέρων φυσικών αριθμών που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ονομάζεται, το γινόμενο των κοινών παραγόντων τους με εκθέτη καθενός το μικρότερο από τους εκθέτες του. 

Παράδειγμα

Για μα βρούμε τον Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη των αριθμών αναλύουμε τους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων:

720 = 2·360 = 2·2·180 = 2·2·2·90 = 2·2·2·2·45 = 2⁴·3·15 = 2⁴·3·3·5 =  2⁴·3²·5¹

360 = 2·180 = 2·2·90 = 2·2·2·45 = 2³·3·15 = 2³·3·3·5 =  2³·3²·5¹

540 = 2·270 = 2·2·135 = 2²·3·45 = 2²·3·3·15 = 2²·3·3·3·5 =  2²·3³·5¹

Μ.Κ.Δ.(  720, 540, 630) = Μ.Κ.Δ.( 2⁴·3²·5¹,  2²·3³·5¹, 2³·3²·5¹) = 2²·3²·5¹ = 180

 Ένας πιο απλός τρόπος:

• Το σύμβολο α% ονομάζεται ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό και είναι ίσο με το  
• Χρησιμοποιούμε ακόμη το ποσοστό α ‰ που διαβάζεται ποσοστό επί τοις χιλίοις και είναι ίσο με το.
• Το ποσοστό α% του β είναι 
• Τα κλάσματα μπορούν να γράφονται και ως ποσοστά. 
• Τα μεγέθη που συμμετέχουν σε ένα ποσοστό είναι πάντα ανάλογα.

• Ένας αριθμός που έχει διαιρέτες μόνο τον εαυτό του και το 1 λέγεται πρώτος αριθμός, διαφορετικά λέγεται σύνθετος. 
• Δύο αριθμοί α,β λέγονται μεταξύ τους πρώτοι αριθμοί αν ο Μέγιστος κοινός διαιρέτης τους είναι το 1, Μ.Κ.Δ (α,β)=1. 

Οι ρητοί αριθμοί μπορούν να γραφούν σε μορφή κλάσματος με ακέραιους όρους που είναι πρώτοι αριθμοί και παρονομαστή διάφορο του μηδενός.

Μορφή ρητού αριθμού: $$ \frac{ \mu }{ \nu } $$ με ν ≠ 0 κια Μ.Κ.Δ. (μ,ν) =1

Κάθε ρητός αριθμός μπορεί να γραφεί και σε δεκαδική μορφή. Αυτό γίνεται κάνοντας τη διαίρεση μ / ν.

Η διαίρεση αυτή μπορεί

• να ολοκληρωθεί π.χ. $$ \frac{1}{8} $$  = 0,125
• ή όχι π.χ. $$ \frac{1}{7} $$ = 0,142857142857.... Για τη δεύτερη περίπτωση λέμε ότι η δεκαδική γραφή ενός ρητού αριθμού είναι πάντα περιοδική.

Οι Φυσικοί αριθμοί περιέχονται στους ρητούς αριθμούς
Οι Ακέραιοι αριθμοί περιέχονται στους ρητούς αριθμούς