Μαθηματικά Γ' Γυμνασίου

Μια αλγεβρική παράσταση λέγεται ακέραια, όταν μεταξύ των μεταβλητών της

• σημειώνονται μόνο οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και
• οι εκθέτες των μεταβλητών της είναι φυσικοί αριθμοί.

Για παράδειγμα η παράσταση $$\sqrt 2 {x^2} - \frac{2}{3}x$$ είναι ακέραια  ενώ η  $$2\sqrt x  + 5x$$ δεν είναι.

Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς και μεταβλητές ονομάζεται αλγεβρική παράσταση.
Για παράδειγμα, η παράσταση 2·x- 5·x+5 είναι μια αλγεβρική παράσταση.

Όταν γράφουμε αλγεβρικές παραστάσεις, συνήθως δε βάζουμε το σύμβολο (·) του πολλαπλασιασμού μεταξύ των αριθμών και των μεταβλητών ή μεταξύ των μεταβλητών. Έτσι η προηγούμενη παράσταση γράφεται 2x- 5x+5.

Oι προσθετέοι  2x & 5x & 5  λέγονται όροι αυτής.

Απλοποιούμε τη μορφή των παραστάσεων κάνοντας Αναγωγή ομοίων όρων . 

Η διαδικασία αυτή με την οποία γράφουμε σε απλούστερη μορφή αλγεβρικές παραστάσεις, ονομάζεται «αναγωγή ομοίων όρων». Βασίζεται στην Eπιμεριστική ιδιότητα.

7 · α + 8 · α = (7 + 8) · α = 15 · α
x + 4 · x – 2 · x = (1 + 4 – 2) · x = 3 · x
5 · t – 6 · t – 8 · t = (5 – 6 – 8) · t = –9 · t

Ε.Κ.Π. ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) δύο ή περισσοτέρων ακέραιων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ονομάζεται, το γινόμενο των κοινών και μη κοινών παραγόντων τους με εκθέτη καθενός το μεγαλύτερο από τους εκθέτες του.

Παράδειγμα

Ε.Κ.Π. (6(x² - y²),  4(x² - 2χy + y²),  12(x - y)³} = ?

Αναλύουμε τις παραστάσεις και τους συντελεστές τους σε γινόμενα πρώτων παραγόντων: 

$$6\left( {{x^2} - {y^2}} \right) = 2 \cdot 3(x - y)(x + y)$$

$$12{(x - y)^3} = {2^2} \cdot 3{(x - y)^3}$$

$$4({x^2} - 2xy + {y^2}) = {2^2}{(x - y)^2}$$

$${\rm E}.{\rm K}.\Pi .\left( {2 \cdot 3(x - y)(x + y){{,2}^2}{{(x - y)}^2},\,\,{2^2} \cdot 3{{(x - y)}^3}} \right) = {2^2} \cdot 3(x + y){(x - y)^3} = 12(x + y){(x - y)^3}$$

 

Μ.Κ.Δ. ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων

Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης ( Μ.Κ.Δ. ) δύο ή περισσοτέρων ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ονομάζεται, το γινόμενο των κοινών παραγόντων τους με εκθέτη καθενός το μικρότερο από τους εκθέτες του. 

Παράδειγμα

Μ.Κ.Δ. (6(x² - y²),  4(x² - 2χy + y²),  12(x - y)³} = ?

Αναλύουμε τις παραστάσεις και τους συντελεστές τους σε γινόμενα πρώτων παραγόντων: 

$$6\left( {{x^2} - {y^2}} \right) = 2 \cdot 3(x - y)(x + y)$$

$$12{(x - y)^3} = {2^2} \cdot 3{(x - y)^3}$$

$$4({x^2} - 2xy + {y^2}) = {2^2}{(x - y)^2}$$

$${\rm M}.{\rm K}.\Delta .\left( {2 \cdot 3(x - y)(x + y){{,2}^2}{{(x - y)}^2},\,\,{2^2} \cdot 3{{(x - y)}^3}} \right) = 2(x - y)$$

 

λέγεται ένα γράμμα π.χ x,y,z,ω,…( ελληνικό ή λατινικό) που παριστάνει έναν οποιοδήποτε αριθμό.

Χρησιμοποιώντας μεταβλητές "μεταφράζουμε" μια φράση σε Αλγεβρική παράσταση.

Παράδειγμα: Το άθροισμα δύο αριθμών πολλαπλασιασμένο επί 9. Αν συμβολίσουμε τους αριθμούς x και y τότε το άθροισμά τους είναι x+y και η ζητούμενη αλγεβρική παράσταση 9(x+y).

 

Μια Ακέραια αλγεβρική παράσταση λέγεται Μονώνυμο, όταν μεταξύ των μεταβλητών της

• σημειώνεται μόνο η πράξη του πολλαπλασιασμού και
• οι εκθέτες των μεταβλητών της είναι φυσικοί αριθμοί.

Για παράδειγμα οι παραστάσεις $$ - 2{x^2}y,\,\,(3 - \sqrt 2 )x{y^3}\,$$ είναι μονώνυμα ενώ οι $$ - 2{x^2}\sqrt y ,\,\,3 - \sqrt 2 x{y^3},\,\,\frac{x}{y}$$ δεν είναι.

Ορολογία

• Συντελεστής λέγεται ο αριθμητικός παράγοντας του μονωνύμου.
• Κύριο μέρος του μονωνύμου λέγεται το γινόμενο όλων των μεταβλητών του με τους αντίστοιχους εκθέτες τους

. 

• Βαθμός του μονωνύμου ως προς μια  μεταβλητή  λέγεται ο εκθέτης της μεταβλητής ,
• Βαθμός του μονωνύμου ως προς όλες τις μεταβλητές του λέγεται το άθροισμα των εκθετών των μεταβλητών του.

 

• Όμοια είναι τα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος. $$ - 2{x^2}y,\,\,(2 - \sqrt 3 ){x^2}y,\,\,{x^2}y$$.
• Ίσα είναι τα όμοια μονώνυμα με ίσους συτελεστές. $$ - 2{x^2}y$$, $$a{x^2}y$$ με $$a = -2$$
• Αντίθετα είναι τα μονώνυμα με αντίθετους συντελεστές $${x^2}y$$, $$a{x^2}y$$ με $$a =  - 1$$

 

•  Σταθερό μονώνυμο είναι κάθε αριθμός. Είναι μονώνυμο μηδενικού βαθμού.
• Μηδενικό μονώνυμο είναι το μηδέν. Δεν ορίζεται βαθμός.

 Πράξεις μονωνύμων

Το άθροισμα ομοίων μονωνύμων είναι μονώνυμο όμοιο με αυτά και έχει συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών τους (Αναγωγή ομοίων όρων).

$$2\sqrt 3 {x^2}y - \,\,(2 - \sqrt 3 ){x^2}y - \,\,{x^2}y = $$
$$2\sqrt 3 {x^2}y - \,\,2{x^2}y + \sqrt 3 {x^2}y - \,\,{x^2}y = $$
$$(2\sqrt 3 - \,\,2 + \sqrt 3 - \,\,1){x^2}y = $$
$$(3\sqrt 3 - \,\,3){x^2}y = $$
$$3(\sqrt 3 - \,\,1){x^2}y$$

Το γινόμενο μονωνύμων είναι μονώνυμο με:

• συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών τους και
• κύριο μέρος το γινόμενο όλων των μεταβλητών τους με εκθέτη κάθε μεταβλητής το άθροισμα των εκθετών της. 

$$2\sqrt 3 {x^2}y\omega \cdot \,( - \frac{1}{6})x{y^2} = $$
$$2\sqrt 3 \cdot ( - \frac{1}{6}){x^{2 + 1}}{y^{1 + 2}}\omega = $$
$$ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}{x^3}{y^3}\omega $$

 Για να διαιρέσουμε μονώνυμα πολλαπλασιάζουμε τον διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη. 

$$2\sqrt 3 {x^2}y:\,\left[ {( - \frac{1}{6})x{y^2}\omega } \right] = $$

$$2\sqrt 3 {x^2}y \cdot \,\frac{1}{{( - \frac{1}{6})x{y^2}\omega }} = $$

$$\frac{{2\sqrt 3 }}{{( - \frac{1}{6})}} \cdot \frac{{{x^2}}}{x} \cdot \,\frac{y}{{{y^2}}} \cdot \frac{1}{\omega } = $$

$$ - 12\sqrt {3 \cdot } {x^{2 - 1}} \cdot {y^{1 - 2}} \cdot {\omega ^{ - 1}} = $$

$$\frac{{ - 12\sqrt 3 x}}{{y\omega }}$$

Στη  διαίρεση μονωνύμων μπορεί να προκύψει μονώνυμο μικρότερου βαθμού ($$5{x^2}y:\,\,({x^{}}y) = 5x$$), σταθερό μονώνυμο ($$5{x^2}y:\,\,({x^2}y) = 5$$)  ή μη ακέραια αλγεβρική παράσταση όπως στο παράδειγμα.

Η διαδικασία με την οποία μια παράσταση, που είναι άθροισμα, μετατρέπεται σε γινόμενο παραγόντων, λέγεται παραγοντοποίηση.

Αξιοσημείωτες παραγοντοποιήσεις

Παράσταση δύο όρων

Διαφορά τετραγώνων: $${\rm{ }}{\alpha ^2} - {\rm{ }}{\beta ^2} = \left( {\alpha {\rm{  +  }}\beta } \right)\left( {\alpha {\rm{ }} - {\rm{ }}\beta } \right)$$

$$4{\beta ^2} - 25 = {\left( {2\beta } \right)^{}} - {5^2} = \left( {2\beta  + 5} \right)\left( {2\beta  - 5} \right)$$

$${\alpha ^6} - {\beta ^6} = {\left( {{\alpha ^3}} \right)^2} - {\left( {{\beta ^3}} \right)^2} = \left( {{\alpha ^3} + {\beta ^3}} \right)\left( {{\alpha ^3} - {\beta ^3}} \right) = \left( {\alpha {\rm{  +  }}\beta } \right)\left( {{\alpha ^2}{\rm{  - }}\alpha \beta {\rm{ }} + {\rm{ }}{\beta ^2}} \right)\left( {\alpha {\rm{  +  }}\beta } \right)\left( {{\alpha ^2}{\rm{ -  }}\alpha \beta {\rm{ }} + {\rm{ }}{\beta ^2}} \right)$$

$${2014^2} - {1986^2} = (2000 + 14)(2000 - 14) = {2000^2} - {14^2} = 4.000.000 - 196 = 3.999.804$$

Διαφορά κύβων: $${\alpha ^3} - {\rm{ }}{\beta ^3} = \left( {\alpha {\rm{ }} - {\rm{ }}\beta } \right)\left( {{\alpha ^2} + {\rm{ }}\alpha \beta {\rm{ }} + {\rm{ }}{\beta ^2}} \right){\rm{ }}$$

$${{\rm{x}}^{\rm{3}}} - 27 = {{\rm{x}}^{\rm{3}}} - {9^3} = \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + {3^2}} \right) = \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)$$

$${\alpha ^6} - {\beta ^6} = {\left( {{\alpha ^2}} \right)^3} - {\left( {{\beta ^2}} \right)^3} = \left( {{\alpha ^2} - {\beta ^2}} \right)\left[ {{{\left( {{\alpha ^2}} \right)}^2} + {\alpha ^2}{\beta ^2} + {{\left( {{\beta ^2}} \right)}^2}} \right] = \left( {{\alpha ^2} - {\beta ^2}} \right)\left[ {{\alpha ^4} + {\alpha ^2}{\beta ^2} + {\beta ^4}} \right]$$

Άθροισμα κύβων: $${\alpha ^3} - {\rm{ }}{\beta ^3} = \left( {\alpha {\rm{ }} - {\rm{ }}\beta } \right)\left( {{\alpha ^2} + {\rm{ }}\alpha \beta {\rm{ }} + {\rm{ }}{\beta ^2}} \right){\rm{ }}$$

$${\alpha ^6} + {\beta ^6} = {\left( {{\alpha ^2}} \right)^3} + {\left( {{\beta ^2}} \right)^3} = \left( {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} \right)\left[ {{{\left( {{\alpha ^2}} \right)}^2} - {\alpha ^2}{\beta ^2} + {{\left( {{\beta ^2}} \right)}^2}} \right] = \left( {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} \right)\left[ {{\alpha ^4} - {\alpha ^2}{\beta ^2} + {\beta ^4}} \right]$$

Κοινός παράγοντας 

$${x^5} - x = x\left( {{x^4} - 1} \right) = x\left[ {{{\left( {{x^2}} \right)}^2} - {1^2}} \right] = x\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)$$

 

Παράσταση τριών όρων

Τέλειο τετράγωνο αθροίσματος ή διαφοράς: $${\alpha ^2} \pm {\rm{ }}2\alpha \beta {\rm{ }} + {\rm{ }}{\beta ^2} = {\left( {\alpha {\rm{ }} \pm {\rm{ }}\beta } \right)^2}$$

$${y^4} - {\rm{ }}2{y^2} + {\rm{ }}1 = {\left( {{y^2}} \right)^2} - 2 \cdot \left( {{y^2}} \right) \cdot 1 = {\left( {{y^2} - 1} \right)^2}$$

$$25{\rm{  +  }}10{x^3} + {\rm{ }}{x^6} = {5^2} + 2 \cdot 5 \cdot {x^3} + {\left( {{x^3}} \right)^2} = {\left( {5 + {x^3}} \right)^2}$$

Τριώνυμο της μορφής $${x^2} + (\alpha  + \beta )x + \alpha \beta $$: $${x^2} + (\alpha  + \beta )x + \alpha \beta  = (x + \alpha )(x + \beta )$$

$${x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}12{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}\left( {6{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}6 \cdot 2{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}6} \right)\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)$$

$${x^2} - 5x + 6 = {\rm{ }}{x^2} + \left( { - 3 - 2} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}( - 3) \cdot ( - 2){\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {x - 3} \right)\left( {x - 2{\rm{ }}} \right)$$

Τριώνυμο της μορφής $$\alpha {x^2} + \beta x + \gamma  = 0$$ = $$a(x - {\rho _1})(x - {\rho _2})$$ με $${\rho _{1,2}} = \frac{{ - \beta  \pm \sqrt {{b^2} - 4a\gamma } }}{{2a}}$$ 

$$2{x^2} + 5x + 3$$. Η εξίσωση $$2{x^2} + 5x + 3 = 0$$ έχει δυο λύσεις, $${\rho _{1,2}} = \frac{{ - 5 \pm \sqrt {{5^2} - 4 \cdot 2 \cdot 3} }}{2}$$, τις $${\rho _1} =  - 1$$ και $${\rho _1} =  - \frac{3}{2}$$

Έτσι το τριώνυμο γίνεται: $$2{x^2} + 5x + 3 = 2\left[ {x - ( - 1)} \right]\left[ {x - \left( { - \frac{3}{2}} \right)} \right] = 2(x + 1)\left( {x + \frac{3}{2}} \right)$$

Κοινός παράγοντας 

$$ - 4{y^2} + 4y - 1 =  - (4{y^2} - 4y + 1) =  - \left[ {{{\left( {2y} \right)}^2} - 2 \cdot \left( {2y} \right) + {1^2}} \right] =  - {\left( {2y - 1} \right)^2}$$

$$3{x^3} + 12{x^2} - 15x = 3x({x^2} + 4x - 5) = 3x\left[ {{x^2} + (5 - 1)x + ( - 1) \cdot ( + 5)} \right] = 3x(x + 5)(x - 1)$$

 

Παράσταση τεσσάρων όρων

Τέλειος κύβος αθροίσματος ή διαφοράς: $${\alpha ^3} \pm 3{\alpha ^2}\beta  + 3\alpha {\beta ^2} \pm {\beta ^3} = {(\alpha  \pm \beta )^3}$$

$$1 - 4y + 8{y^2} - 8{y^3} = {1^3} - 2 \cdot {1^2} \cdot (2y) + 2 \cdot 1 \cdot {(2y)^2} - {(2y)^3} = {(1 - 2y)^3}$$

Ομαδοποίηση 3-1

$${x^2} - 2x + 1 - {y^2} = ({x^2} - 2 \cdot x \cdot 1 + {1^2}) - {y^2} = {(x - 1)^2} - {y^2} = (x - 1 - y)(x - 1 + y)$$

Ομαδοποίηση 2-2 

$$9{x^3} + 9{x^2} - 4x - 4 = 9{x^2}(x + 1) - 4(x + 1) = (x + 1)(9{x^2} - 4) = (x + 1)\left[ {{{(3x)}^2} - {2^2}} \right] = (x + 1)(3x + 2)(3x - 2)$$

Διάσπαση ενός εκ των τριών όρων και δημιουργία τέταρτου

$$3{x^2} + 5xy + 2{y^2} = 3{x^2} + 3xy + 2xy + 2{y^2} = 3x(x + y) + 2y(x + y) = (x + y)(3x + 2y)$$

$${\alpha ^4} + {\beta ^4} - 7{\alpha ^2}{\beta ^2} = {\alpha ^4} + {\beta ^4} + 2{\alpha ^2}{\beta ^2} - 9{\alpha ^2}{\beta ^2} = {\left( {{\alpha ^2}} \right)^2} + {\left( {{\beta ^2}} \right)^2} + 2{\alpha ^2}{\beta ^2} - {\left( {3\alpha \beta } \right)^2} = {\left( {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} \right)^2} - {\left( {3\alpha \beta } \right)^2} = \left( {{\alpha ^2} + {\beta ^2} - 3\alpha \beta } \right)\left( {{\alpha ^2} + {\beta ^2} + 3\alpha \beta } \right)$$

Παραγοντοποίηση και εξισώσεις

Η παραγοντοποίηση οδηγεί σε παραστάσεις που περιέχουν μόνο γινόμενα $${\rm A} \cdot {\rm B} \cdot \Gamma ...$$.

Έτσι η εξίσωση $${\rm A} \cdot {\rm B} \cdot \Gamma ... = 0$$ έχει τις λύσεις: $${\rm A} = 0$$ ή $${\rm B} = 0$$ ή $$\Gamma  = 0$$  $$...$$

$${x^2} - 49 = 0 \to {x^2} - {7^2} = 0 \to (x - 7)(x + 7) = 0 \to x - 7 = 0$$ ή $$x + 7 = 0$$ $$ \to $$ $$x = 7$$ ή $$x =  - 7$$

Μια αλγεβρική παράσταση λέγεται Πολυώνυμο, όταν μεταξύ των μεταβλητών της

• σημειώνονται μόνο οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, είναι άθροισμα μονωνύμων.
• οι εκθέτες των μεταβλητών της είναι φυσικοί αριθμοί.
• Βρίσκεται στην ανηγμένη μορφή, δηλαδή έχουν ολοκληρωθεί οι αναγωγές ομοίων όρων. 

Για παράδειγμα η παράσταση $$2{x^2}y + 3{x^2}y - x{y^2} - 2x{y^2}$$ είναι το πολυώνυμο $$5{x^2}y - 3x{y^2}$$.

Ορολογία

• Όρος λέγεται κάθε μονώνυμο του πολυωνύμου.
• Διώνυμο ονομάζεται το πολυώνυμο με δυο όρους, $${x^2} - {y^2}$$.
• Διώνυμο ονομάζεται το πολυώνυμο με τρεις όρους,$${x^2} - 2xy + {y^2}$$.

.

• Βαθμός  ενός πολυωνύμου ως προς μία ή περισσότερες μεταβλητές του, είναι ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς των όρων του.

   

   

• Ίσα είναι τα πολυώνυμα που έχουν ίσα μονώνυμα. $${x^2} - 2xy + {y^2}$$ = $$a{x^2} + \beta xy + \gamma {y^2}$$, αν $$a = 1$$ & $$\beta  =  - 2$$ & $$\gamma  = 1$$
• Αντίθετα είναι  τα πολυώνυμα που έχουν μονώνυμα με αντίθετους συντελεστές  Τα πολυώνυμα $${x^2} - 2xy + {y^2}$$ και $$a{x^2} + \beta xy + \gamma {y^2}$$ είναι αντίθετα αν $$a = -1$$ & $$\beta  =   2$$ & $$\gamma  = -1$$
  

 

• Σταθερό πολυώνυμο είναι κάθε αριθμός. Είναι πολυώνυμο μηδενικού βαθμού.
• Μηδενικό πολυώνυμο είναι το μηδέν. Δεν ορίζεται βαθμός.
• Πολυώνυμο μιας μεταβλητής
  • Το πολυώνυμο $$ - 3x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{x^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}5$$ έχει μία μεταβλητή την x και για συντομία συμβολίζεται P(x) ή Q(x) ή A(x) κ.τ.λ.
  • Μπορούμε να το γράψουμε έτσι, ώστε κάθε όρος του να είναι μεγαλύτερου βαθμού από τον επόμενό του.Δηλαδή, P(x) =$$2{x^2}{\rm{ }} - {\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }}5$$. Τότε, λέμε, ότι γράφουμε το πολυώνυμο κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του x. 
  • H αριθμητική τιμή του πολυώνυμου P(x) για x = 5, συμβολίζεται με P(5) και είναι: P(5) = 2·5²- 3·5 + 5 = 50 - 15 + 5 = 40.

 Πράξεις πολυωνύμων

Μπορούμε να προσθέσουμε, να αφαιρέσουμε, ή να πολλαπλασιάσουμε πολυώνυμα, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών, όπως φαίνεται στα επόμενα παραδείγματα:

Για το βαθμό του αθροίσματος και του γινομένου δυο πολυωνύμων ισχύει ότι:

• Αν το άθροισμα δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι μη μηδενικό πολυώνυμο, τότε ο βαθμός του είναι ίσος ή μικρότερος από το μέγιστο των βαθμών των δυο πολυωνύμων.
• Ο βαθμός του γινομένου δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το άθροισμα των βαθμών των πολυωνύμων αυτών. 

Διαίρεση

• Αν έχουμε δύο πολυώνυμα Δ(x) (διαιρετέος) και δ(x) (διαιρέτης) με δ (x) ≠ 0 και
• κάνουμε την διαίρεση Δ(x) : δ(x) ,
• τότε βρίσκουμε ένα μοναδικό ζεύγος πολυωνύμων
• π(x) (πηλίκο) και υ(x) (υπόλοιπο) ,
• για τα οποία ισχύει:
• Δ(x) = δ(x) π(x) + υ(x) (Ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης), όπου το υ(x) ή είναι ίσο με μηδέν ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του δ(x).

Δείτε  παραδείγματα διαίρεσης

 

Μια αλγεβρική παράσταση που είναι κλάσμα με όρους πολυώνυμα, λέγεται ρητή αλγεβρικήπαράσταση ή απλώς ρητή παράσταση.

π.χ. $$A = \frac{{3{x^2} + 12x + 12}}{{{x^2} - 4}}$$

Οι μεταβλητές μιας ρητής παράστασης δεν μπορούν να πάρουν τιμές που μηδενίζουν τον παρονομαστή.

$${x^2} - 4 \ne 0$$ ή $${x^2} \ne 4$$ ή $$x \ne \sqrt 4 $$ ή $$x \ne  \pm 2$$. Η μεταβλητή x μπορεί να έχει ως τιμή κάθε πραγματικό αριθμός εκτός των -2, +2.

Για να απλοποιήσουμε μια ρητή αλγεβρική παράσταση, παραγοντοποιούμε και τους δύο όρους της και διαγράφουμε τον κοινό παράγοντα.

$$A = \frac{{3{x^2} + 12x + 12}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{3\left( {{x^2} + 4x + 4} \right)}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{3\left( {{x^2} + 2 \cdot 2 \cdot x + {2^2}} \right)}}{{{x^2} - {2^2}}} = \frac{{3{{(x + 2)}^2}}}{{(x - 2)(x + 2)}} = \frac{{3(x + 2)}}{{x - 2}}$$

Οι πράξεις με τις ρητές παραστάσεις γίνονται όπως και οι πράξεις των αριθμητικών κλασμάτων.

• Δες παρἀδειγμα πρόσθεσης αφαίρεσης ρητών παρατάσεων
• Δες παρἀδειγμα πολλαπλασιασμού διαίρεσης ρητών παρατάσεων
• Δες παρἀδειγμα σύνθετου κλάσματος ρητών παρατάσεων