Μαθηματικά Γ' Γυμνασίου

Μια αλγεβρική παράσταση λέγεται ακέραια, όταν μεταξύ των μεταβλητών της

• σημειώνονται μόνο οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και
• οι εκθέτες των μεταβλητών της είναι φυσικοί αριθμοί.

Για παράδειγμα η παράσταση $$\sqrt 2 {x^2} - \frac{2}{3}x$$ είναι ακέραια  ενώ η  $$2\sqrt x  + 5x$$ δεν είναι.

Ακέραιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς.

Οι Φυσικοί αριθμοί περιέχονται στους ακεραίους αριθμούς

Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς και μεταβλητές ονομάζεται αλγεβρική παράσταση.
Για παράδειγμα, η παράσταση 2·x- 5·x+5 είναι μια αλγεβρική παράσταση.

Όταν γράφουμε αλγεβρικές παραστάσεις, συνήθως δε βάζουμε το σύμβολο (·) του πολλαπλασιασμού μεταξύ των αριθμών και των μεταβλητών ή μεταξύ των μεταβλητών. Έτσι η προηγούμενη παράσταση γράφεται 2x- 5x+5.

Oι προσθετέοι  2x & 5x & 5  λέγονται όροι αυτής.

Απλοποιούμε τη μορφή των παραστάσεων κάνοντας Αναγωγή ομοίων όρων . 

Η διαδικασία αυτή με την οποία γράφουμε σε απλούστερη μορφή αλγεβρικές παραστάσεις, ονομάζεται «αναγωγή ομοίων όρων». Βασίζεται στην Eπιμεριστική ιδιότητα.

7 · α + 8 · α = (7 + 8) · α = 15 · α
x + 4 · x – 2 · x = (1 + 4 – 2) · x = 3 · x
5 · t – 6 · t – 8 · t = (5 – 6 – 8) · t = –9 · t

Σύγκριση

Για να συγκρίνουμε λοιπόν δύο πραγματικούς αριθμούς α και β, που δεν έχουν παρασταθεί με σημεία ενός άξονα, βρίσκουμε τη διαφορά τους α - β και εξετάζουμε αν είναι θετική ή αρνητική ή μηδέν.

Αν α - β > 0 τότε α > β
Αν α - β < 0 τότε α< β
Αν α - β = 0 τότε α = β

Διάταξη

Δύο ή περισσότεροι πραγματικοί αριθμοί που έχουν παρασταθεί με σημεία ενός άξονα είναι διατεταγμένοι. Άρα:

Κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από το μηδέν.
Κάθε αρνητικός αριθμός είναι μικρότερος από το μηδέν.
Κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από κάθε αρνητικό αριθμό.

Ιδιότητες ανισότητας- διάταξης

Αν α > β τότε α + γ > β + γ και α - γ > β - γ.  Αν και στα δύο μέλη μιας ανισότητας προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά.

Αν α > β και γ > 0 τότε α γ > β γ και $$ \frac{ \alpha }{ \gamma } > \frac{ \beta }{ \gamma } $$.  Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέλη μιας ανισότητας με τον ίδιο θετικό αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά.

Αν α > β και γ < 0 τότε α γ < β γ και $$ \frac{ \alpha }{ \gamma } < \frac{ \beta }{ \gamma } $$.  Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέλη μιας ανισότητας με τον ίδιο αρνητικό αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα αντίθετης φοράς

Αν α > β και γ > δ τότε α + γ > β + δ. Αν προσθέσουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες που έχουν την ίδια φορά, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά..

Αν α, β, γ, δ θετικοί αριθμοί με α > β και γ > δ τότε αγ > βδ.  Αν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες που έχουν την ίδια φορά και θετικά μέλη, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά.

α² ≥ 0. Το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού α είναι μη αρνητικός αριθμός. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει α² + β² = 0, τότε α = 0 και β = 0.

Αν α > β και β > γ τότε α > γ. Μεταβατική ιδιότητα.

Δείτε παράδειγμα ασκήσεων με ανισώσεις ... εδώ.

Η απόλυτη τιμή ενός ρητού αριθμού α εκφράζει την απόσταση του σημείου μετετμημένη α από την αρχή Ο του άξονα και συμβολίζεται με |α|.

Αντίθετοι ονομάζονται δύο αριθμοί που είναι ετερόσημοι και έχουν την ίδια απόλυτη τιμή.

Ο αντίθετος του x είναι ο -x.

H απόλυτη τιμή ενός θετικού αριθμού είναι ο ίδιος ο αριθμός. |+6| = 6.

H απόλυτη τιμή ενός αρνητικού αριθμού είναι ο αντίθετός του. |-6| = -(6-)=6

H απόλυτη τιμή του μηδενός είναι το μηδέν.

ονομάζεται μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς..
Για παράδειγμα, η παράσταση  2·3-4·(-3)+5 είναι μια αριθμητική παράσταση. 

Οι αρνητικοί αριθμοί με πρόσημο - , είναι οι συμμετρικοί των θετικών αριθμών, με πρόσημο + (το οποίο παραλείπεται όταν δε δημιουργείται ασάφεια. 

• Το μηδέν δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός αριθμός
• Ομόσημοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν το ίδιο πρόσημο. +5 , +1,25 , +$$ \frac{5}{7} $$ ή -5 , -1,25 , -$$ \frac{5}{7} $$
• Ετερόσημοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν διαφορετικό πρόσημο. -5 , +7,2 

Παράσταση των ρητών αριθμών με σημεία μιας ευθείας

 Αν θεωρήσουμε αριστερά της αρχής Ο του ημιάξονα Οx των αριθμών, τον αντικείμενο αυτού ημιάξονα Οx', θα έχουμε τη δυνατότητα, με αυτόν τον τρόπο, να παραστήσουμε όλους τους ρητούς αριθμούς.

Το σημείο Α έχει τετμημένη 4 και το σημείο Β έχει τετμημένη -2.

Απόλυτη τιμή

Πράξεις με αρνητικούς αριθμούς

Πρόσθεση

• Αν οι αριθμοί είναι ομόσημοι, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμα βάζουμε το κοινό τους πρόσημο: +2+3=+(2+3)=+5 , -2-3=-(2+3)=-5
• Αν οι αριθμοί είναι ετερόσημοι, αφαιρούμε τη μικρότερη απόλυτη τιμή από τη μεγαλύτερη και στη διαφορά βάζουμε το πρόσημο της μεγαλύτερη απόλυτης τιμής: -2+3=+(3-2) =+1 , +2-3=-(3-2)=-1

Αφαίρεση

• Στον μειωτέο α, πρσθέτουμα τον αντίθετο του αφαιρετέου. α-β=α+(-β):  2-(-3)=2+(+3)=+5 , 2-(+3)=2+(-3)=-1

Πολλαπλασιασμός 

• Αν οι αριθμοί είναι ομόσημοι, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενο βάζουμε θετικό πρόσημο: (+2)·(+3)=+6 , (-2)·(-3)=+6
• Αν οι αριθμοί είναι ετερόσημοι, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενο βάζουμε αρνητικό πρόσημο: (+2)·(-3)=-6 , (-2)·(+3)=-6

Διαίρεση

• Πολλαπλασιάζουμε τον διαιρετέο α με τον αντίστροφο $$ \frac{1}{ \beta } $$ του διαιρέτη β. α:β= $$ \alpha \cdot \frac{1}{ \beta } $$, με β≠0. 
• Για τα πρόσημα ισχύει ο κανόνας του πολλαπλασιασμού.
• (+3): (-$$ \frac{3}{5} $$) = (+3)·(-$$ \frac{5}{3} $$) =-5

Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός.

• Οι άρρητοι αριθμοί δεν μπορούν να γραφούν στη μοεφή $$ \frac{ \mu }{ \nu } $$ με ν ≠ 0.
• Η δεκαδική φραφή του άρρητου αριθμού έχει άπειρα ψηφία, χωρίς να εμφανίζεται επαναλαμβανόμενο μοτίβο.
• η τετραγωνική ρίζα κάθε ακέραιου που δεν είναι τετράγωνο, είναι άρρητος.
• Υπάρχουν και άλλοι άρρητοι που δεν είναι ρίζες ρητών αριθμών, όπως ο γνωστός από τη μέτρηση του κύκλου αριθμός π.

Ορισμοί

Τα διανυσματικά μεγέθη παριστάνονται με διανύσματα που συμβολίζονται με βέλη έχοντας ένα σημείο Α που είναι η αρχή και λέγεται σημείο εφαρμογής του διανύσματος και ένα σημείο Β που είναι το πέρας (τέλος) του διανύσματος. Το διάνυσμα, τότε, συμβολίζεται με $$\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} $$

Ένα διάνυσμα έχει τα εξής στοιχεία:

• Διεύθυνση, την ευθεία ε που ορίζουν τα άκρα Α, Β ή οποιαδήποτε άλλη ευθεία παράλληλη προς αυτή.
• Φορά, που καθορίζεται από το αν το διάνυσμα έχει αρχή το Α και πέρας το Β $$\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} $$, ή αρχή το Β και πέρας το Α $$\overrightarrow {{\rm B}{\rm A}} $$. 
• Μέτρο, το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, το οποίο συμβολίζουμε με $$\left| {\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} } \right|$$. Το μέτρο είναι πάντοτε ένας αριθμός θετικός ή μηδέν.
• Η διεύθυνση μαζί με τη φορά καθορίζουν την κατεύθυνση ενός διανύσματος.

Διανύσματα που έχουν την ίδια διεύθυνση.  Ομόρροπα - Αντίρροπα, Ίσα - Αντίθετα

Ομόρροπα λέγονται τα διανύσματα που έχουν την ίδια διεύθυνση και την ίδια φορά (ἰδια κατεύθυνση)

Δύο διανύσματα λέγονται ίσα, όταν έχουν την ίδια διεύθυνση, την ίδια φορά και ίσα μέτρα.

Αντίρροπα λέγονται τα διανύσματα που έχουν την ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά (αντίθετη κατεύθυνση) 

Δύο διανύσματα είναι αντίθετα, όταν έχουν την ίδια διεύθυνση, ίσα μέτρα και αντίθετη φορά.

ΠΡΟΣΟΧΗ:  (Τα διανύσματα $$\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} $$ και $$\overrightarrow {{\rm B}{\rm A}} $$ είναι αντίθετα $$\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}}  =  - \overrightarrow {{\rm B}{\rm A}} $$. Έχουν την ίδια διεύθυνση, αντίθετες  φορές και ίσα μέτρα $$\left| {\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{\rm B}{\rm A}} } \right|$$).

Πρόσθεση διανυσμάτων

Κανόνας παραλληλογράμμου

Μεταφέρουμε τα διανύσματα, έτσι ώστε να έχουν κοινή αρχή και σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο που έχει πλευρές τα διανύσματα. Η διαγώνιος του παραλληλογράμμου που έχει ως αρχή την κοινή τους αρχή είναι το άθροισμα των διανυσμάτων. 

Κανόνας πολυγώνου

Μεταφέρουμε παράλληλα τα διανύσματα που θέλουμε να προσθέσουμε, ώστε να γίνουν όλα διαδοχικά. Το άθροισμα των  θα είναι το διάνυσμα που θα έχει αρχή την αρχή του πρώτου και πέρας το πέρας του τελευταίου.

 Στο σχήμα ισχύει ότι $$\overrightarrow \alpha   + \overrightarrow \beta   + \overrightarrow \gamma   = \overrightarrow \delta  $$.

Αφαίρεση διανυσμάτων

Η διαφορά δύο διανυσμάτων $$\overrightarrow \alpha  $$ και  $$\overrightarrow \beta  $$ συμβολίζεται με $$\overrightarrow \alpha   - \overrightarrow \beta  $$ και ορίζεται ως άθροισμα του $$\overrightarrow \alpha  $$  με το αντίθετο διάνυσμα του $$\overrightarrow \beta  $$, δηλαδή με το $$ - \overrightarrow \beta  $$. Έτσι  $$\overrightarrow \alpha   - \overrightarrow \beta   = \overrightarrow \alpha   + ( - \overrightarrow \beta  )$$.

Μηδενικό διάνυσμα

Το μηδενικό διάνυσμα είναι ένα διάνυσμα του οποίου η αρχή και το τέλος (πέρας) ταυτίζονται. Το μηδενικό διάνυσμα συμβολίζεται με $$\overrightarrow 0 $$.
Το μηδενικό διάνυσμα είναι ένα σημείο, οπότε δεν έχει ούτε διεύθυνση ούτε φορά και το μέτρο του είναι ίσο με 0. Δηλαδή:
Το άθροισμα δύο αντίθετων διανυσμάτων είναι το μηδενικό διάνυσμα.
Το άθροισμα των διανυσμάτων του σχήματος είναι το μηδενικό διάνυσμα.

Κάθετα διανύσματα. Σύνθεση - Ανάλυση

 Σύνθεση-Πρόσθεση-Άθροισμα διανυσμάτων.

Ουσιαστικά αντικαθιστούμε τα δυο διανύσματα $$\overrightarrow \alpha  $$, $$\overrightarrow \beta  $$ με ένα $$\overrightarrow \gamma  $$ ώστε $$\overrightarrow \alpha   + \overrightarrow \beta   = \overrightarrow \gamma  $$.

• Υπολογίζουμε το μέτρο του αθροίσματος με το Πυθαγόρειο θεώρημα: $$\left| {\overrightarrow \gamma  } \right| = \sqrt {{{\left| {\overrightarrow \alpha  } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow \beta  } \right|}^2}} $$.
• Η διεύθυνση του αθροίσματος $$\overrightarrow \gamma  $$ σχηματίζει με  το διάνυσμα $$\overrightarrow \alpha  $$, π.χ., γωνία εφαπτομένης $$\varepsilon \varphi \varphi \frac{{\left| {\overrightarrow \beta  } \right|}}{{\left| {\overrightarrow \alpha  } \right|}}$$ 

Ανάλυση διανύσματος σε δυο συνιστώσες.

Αντικαθιστούμε ένα διάνυσμα $$\overrightarrow \gamma  $$  με δυο κάθετες συνιστώσες $$\overrightarrow \alpha  $$ και $$\overrightarrow \beta  $$,  που έχουν το αρχικό διάνυσμα ως άθροισμα. Χρησιμοποιούνται οι Τριγωνομετρικοί αριθμοί και προκύπτει ότι:

• $$\left| {\overrightarrow \alpha  } \right| = \left| {\overrightarrow \gamma  } \right| \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi $$
• $$\left| {\overrightarrow \beta  } \right| = \left| {\overrightarrow \gamma  } \right| \cdot \eta \mu \varphi $$