Ορισμοί

Τα διανυσματικά μεγέθη παριστάνονται με διανύσματα που συμβολίζονται με βέλη έχοντας ένα σημείο Α που είναι η αρχή και λέγεται σημείο εφαρμογής του διανύσματος και ένα σημείο Β που είναι το πέρας (τέλος) του διανύσματος. Το διάνυσμα, τότε, συμβολίζεται με $$\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} $$

Ένα διάνυσμα έχει τα εξής στοιχεία:

• Διεύθυνση, την ευθεία ε που ορίζουν τα άκρα Α, Β ή οποιαδήποτε άλλη ευθεία παράλληλη προς αυτή.
• Φορά, που καθορίζεται από το αν το διάνυσμα έχει αρχή το Α και πέρας το Β $$\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} $$, ή αρχή το Β και πέρας το Α $$\overrightarrow {{\rm B}{\rm A}} $$. 
• Μέτρο, το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, το οποίο συμβολίζουμε με $$\left| {\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} } \right|$$. Το μέτρο είναι πάντοτε ένας αριθμός θετικός ή μηδέν.
• Η διεύθυνση μαζί με τη φορά καθορίζουν την κατεύθυνση ενός διανύσματος.

Διανύσματα που έχουν την ίδια διεύθυνση.  Ομόρροπα - Αντίρροπα, Ίσα - Αντίθετα

Ομόρροπα λέγονται τα διανύσματα που έχουν την ίδια διεύθυνση και την ίδια φορά (ἰδια κατεύθυνση)

Δύο διανύσματα λέγονται ίσα, όταν έχουν την ίδια διεύθυνση, την ίδια φορά και ίσα μέτρα.

 

 

Αντίρροπα λέγονται τα διανύσματα που έχουν την ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά (αντίθετη κατεύθυνση) 

Δύο διανύσματα είναι αντίθετα, όταν έχουν την ίδια διεύθυνση, ίσα μέτρα και αντίθετη φορά.

ΠΡΟΣΟΧΗ:  (Τα διανύσματα $$\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} $$ και $$\overrightarrow {{\rm B}{\rm A}} $$ είναι αντίθετα $$\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}}  =  - \overrightarrow {{\rm B}{\rm A}} $$. Έχουν την ίδια διεύθυνση, αντίθετες  φορές και ίσα μέτρα $$\left| {\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{\rm B}{\rm A}} } \right|$$).

Πρόσθεση διανυσμάτων

Κανόνας παραλληλογράμμου

 

Μεταφέρουμε τα διανύσματα, έτσι ώστε να έχουν κοινή αρχή και σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο που έχει πλευρές τα διανύσματα. Η διαγώνιος του παραλληλογράμμου που έχει ως αρχή την κοινή τους αρχή είναι το άθροισμα των διανυσμάτων. 

 

 

Κανόνας πολυγώνου

Μεταφέρουμε παράλληλα τα διανύσματα που θέλουμε να προσθέσουμε, ώστε να γίνουν όλα διαδοχικά. Το άθροισμα των  θα είναι το διάνυσμα που θα έχει αρχή την αρχή του πρώτου και πέρας το πέρας του τελευταίου.

 Στο σχήμα ισχύει ότι $$\overrightarrow \alpha   + \overrightarrow \beta   + \overrightarrow \gamma   = \overrightarrow \delta  $$.

 

Αφαίρεση διανυσμάτων

Η διαφορά δύο διανυσμάτων $$\overrightarrow \alpha  $$ και  $$\overrightarrow \beta  $$ συμβολίζεται με $$\overrightarrow \alpha   - \overrightarrow \beta  $$ και ορίζεται ως άθροισμα του $$\overrightarrow \alpha  $$  με το αντίθετο διάνυσμα του $$\overrightarrow \beta  $$, δηλαδή με το $$ - \overrightarrow \beta  $$. Έτσι  $$\overrightarrow \alpha   - \overrightarrow \beta   = \overrightarrow \alpha   + ( - \overrightarrow \beta  )$$.

 

 

 

 

Μηδενικό διάνυσμα

Το μηδενικό διάνυσμα είναι ένα διάνυσμα του οποίου η αρχή και το τέλος (πέρας) ταυτίζονται. Το μηδενικό διάνυσμα συμβολίζεται με $$\overrightarrow 0 $$.
Το μηδενικό διάνυσμα είναι ένα σημείο, οπότε δεν έχει ούτε διεύθυνση ούτε φορά και το μέτρο του είναι ίσο με 0. Δηλαδή:
Το άθροισμα δύο αντίθετων διανυσμάτων είναι το μηδενικό διάνυσμα.
Το άθροισμα των διανυσμάτων του σχήματος είναι το μηδενικό διάνυσμα.

 

 

 

Κάθετα διανύσματα. Σύνθεση - Ανάλυση

 Σύνθεση-Πρόσθεση-Άθροισμα διανυσμάτων.

Ουσιαστικά αντικαθιστούμε τα δυο διανύσματα $$\overrightarrow \alpha  $$, $$\overrightarrow \beta  $$ με ένα $$\overrightarrow \gamma  $$ ώστε $$\overrightarrow \alpha   + \overrightarrow \beta   = \overrightarrow \gamma  $$.

• Υπολογίζουμε το μέτρο του αθροίσματος με το Πυθαγόρειο θεώρημα: $$\left| {\overrightarrow \gamma  } \right| = \sqrt {{{\left| {\overrightarrow \alpha  } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow \beta  } \right|}^2}} $$.
• Η διεύθυνση του αθροίσματος $$\overrightarrow \gamma  $$ σχηματίζει με  το διάνυσμα $$\overrightarrow \alpha  $$, π.χ., γωνία εφαπτομένης $$\varepsilon \varphi \varphi \frac{{\left| {\overrightarrow \beta  } \right|}}{{\left| {\overrightarrow \alpha  } \right|}}$$ 

Ανάλυση διανύσματος σε δυο συνιστώσες.

Αντικαθιστούμε ένα διάνυσμα $$\overrightarrow \gamma  $$  με δυο κάθετες συνιστώσες $$\overrightarrow \alpha  $$ και $$\overrightarrow \beta  $$,  που έχουν το αρχικό διάνυσμα ως άθροισμα. Χρησιμοποιούνται οι Τριγωνομετρικοί αριθμοί και προκύπτει ότι:

• $$\left| {\overrightarrow \alpha  } \right| = \left| {\overrightarrow \gamma  } \right| \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi $$
• $$\left| {\overrightarrow \beta  } \right| = \left| {\overrightarrow \gamma  } \right| \cdot \eta \mu \varphi $$