Μαθηματικά & Επιστήμες

Η συνάρτηση y = αx² με α ≠ 0.

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $$y= \alpha  x^{2}$$ με είναι μια καμπύλη γραμμή που λέγεται παραβολή. 
Το σημείο Ο (0, 0) ονομάζεται κορυφή της παραβολής. Η παραβολή έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y΄y.

Αν α  > 0

Η παραβολή βρίσκεται από τον άξονα x΄x και πάνω, που σημαίνει ότι για οποιαδήποτε τιμή του x ισχύει y ≥ 0. Η συνάρτηση παίρνει ελάχιστη τιμή y = 0, όταν x = 0.

Αν α  > 0

Η παραβολή βρίσκεται από τον άξονα x΄x και κάτω, που σημαίνει ότι για οποιαδήποτε τιμή του x ισχύει y≤0  Η συνάρτηση παίρνει μέγιστη τιμή y = 0, όταν x = 0.

Η συνάρτηση y = αx² + βx + γ  με α ≠ 0.

Ο άξονας συμμετρίας είναι η ευθεία (ε) : x = $$- \frac{ \beta }{2 \alpha } $$ 

H κορυφή της είναι το σημείο Κ ( $$- \frac{ \beta }{2  \alpha } ,- \frac{ \Delta }{4  \alpha } $$ ) 

Τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο Α ( 0 , γ )

Οι τετμημένες των σημείων τομής με τον άξονα x'x είναι οι λύσεις της δευτεροβάθμιας εξίσωσης $$0= \alpha x^{2}+ \beta  x+ \gamma $$

$${x_{1,2}} = \frac{{ - \beta  \pm \sqrt {{\beta ^2} - 4a\gamma } }}{{2a}}$$

Τέμνει λοιπόν τον x'x στο σημείο Β (x₁ , 0 ) και στο σημείο Γ  (x₂ , 0 ).

Παραδείγματα

• Συμμετρικές παραβολές ...εδώ.
• Σημεία τομής παραβολής με τους άξονες ... εδώ.
• Υπολογισμός μέγιστης τιμής (κορυφή παραβολής) ... εδώ.
• Πρόβλημα με παραβολή ... εδώ.

Η διαδικασία με την οποία μια παράσταση, που είναι άθροισμα, μετατρέπεται σε γινόμενο παραγόντων, λέγεται παραγοντοποίηση.

Αξιοσημείωτες παραγοντοποιήσεις

Παράσταση δύο όρων

Διαφορά τετραγώνων: $${\rm{ }}{\alpha ^2} - {\rm{ }}{\beta ^2} = \left( {\alpha {\rm{  +  }}\beta } \right)\left( {\alpha {\rm{ }} - {\rm{ }}\beta } \right)$$

$$4{\beta ^2} - 25 = {\left( {2\beta } \right)^{}} - {5^2} = \left( {2\beta  + 5} \right)\left( {2\beta  - 5} \right)$$

$${\alpha ^6} - {\beta ^6} = {\left( {{\alpha ^3}} \right)^2} - {\left( {{\beta ^3}} \right)^2} = \left( {{\alpha ^3} + {\beta ^3}} \right)\left( {{\alpha ^3} - {\beta ^3}} \right) = \left( {\alpha {\rm{  +  }}\beta } \right)\left( {{\alpha ^2}{\rm{  - }}\alpha \beta {\rm{ }} + {\rm{ }}{\beta ^2}} \right)\left( {\alpha {\rm{  +  }}\beta } \right)\left( {{\alpha ^2}{\rm{ -  }}\alpha \beta {\rm{ }} + {\rm{ }}{\beta ^2}} \right)$$

$${2014^2} - {1986^2} = (2000 + 14)(2000 - 14) = {2000^2} - {14^2} = 4.000.000 - 196 = 3.999.804$$

Διαφορά κύβων: $${\alpha ^3} - {\rm{ }}{\beta ^3} = \left( {\alpha {\rm{ }} - {\rm{ }}\beta } \right)\left( {{\alpha ^2} + {\rm{ }}\alpha \beta {\rm{ }} + {\rm{ }}{\beta ^2}} \right){\rm{ }}$$

$${{\rm{x}}^{\rm{3}}} - 27 = {{\rm{x}}^{\rm{3}}} - {9^3} = \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + {3^2}} \right) = \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)$$

$${\alpha ^6} - {\beta ^6} = {\left( {{\alpha ^2}} \right)^3} - {\left( {{\beta ^2}} \right)^3} = \left( {{\alpha ^2} - {\beta ^2}} \right)\left[ {{{\left( {{\alpha ^2}} \right)}^2} + {\alpha ^2}{\beta ^2} + {{\left( {{\beta ^2}} \right)}^2}} \right] = \left( {{\alpha ^2} - {\beta ^2}} \right)\left[ {{\alpha ^4} + {\alpha ^2}{\beta ^2} + {\beta ^4}} \right]$$

Άθροισμα κύβων: $${\alpha ^3} - {\rm{ }}{\beta ^3} = \left( {\alpha {\rm{ }} - {\rm{ }}\beta } \right)\left( {{\alpha ^2} + {\rm{ }}\alpha \beta {\rm{ }} + {\rm{ }}{\beta ^2}} \right){\rm{ }}$$

$${\alpha ^6} + {\beta ^6} = {\left( {{\alpha ^2}} \right)^3} + {\left( {{\beta ^2}} \right)^3} = \left( {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} \right)\left[ {{{\left( {{\alpha ^2}} \right)}^2} - {\alpha ^2}{\beta ^2} + {{\left( {{\beta ^2}} \right)}^2}} \right] = \left( {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} \right)\left[ {{\alpha ^4} - {\alpha ^2}{\beta ^2} + {\beta ^4}} \right]$$

Κοινός παράγοντας 

$${x^5} - x = x\left( {{x^4} - 1} \right) = x\left[ {{{\left( {{x^2}} \right)}^2} - {1^2}} \right] = x\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)$$

Παράσταση τριών όρων

Τέλειο τετράγωνο αθροίσματος ή διαφοράς: $${\alpha ^2} \pm {\rm{ }}2\alpha \beta {\rm{ }} + {\rm{ }}{\beta ^2} = {\left( {\alpha {\rm{ }} \pm {\rm{ }}\beta } \right)^2}$$

$${y^4} - {\rm{ }}2{y^2} + {\rm{ }}1 = {\left( {{y^2}} \right)^2} - 2 \cdot \left( {{y^2}} \right) \cdot 1 = {\left( {{y^2} - 1} \right)^2}$$

$$25{\rm{  +  }}10{x^3} + {\rm{ }}{x^6} = {5^2} + 2 \cdot 5 \cdot {x^3} + {\left( {{x^3}} \right)^2} = {\left( {5 + {x^3}} \right)^2}$$

Τριώνυμο της μορφής $${x^2} + (\alpha  + \beta )x + \alpha \beta $$: $${x^2} + (\alpha  + \beta )x + \alpha \beta  = (x + \alpha )(x + \beta )$$

$${x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}12{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}\left( {6{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}6 \cdot 2{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}6} \right)\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)$$

$${x^2} - 5x + 6 = {\rm{ }}{x^2} + \left( { - 3 - 2} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}( - 3) \cdot ( - 2){\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {x - 3} \right)\left( {x - 2{\rm{ }}} \right)$$

Τριώνυμο της μορφής $$\alpha {x^2} + \beta x + \gamma  = 0$$ = $$a(x - {\rho _1})(x - {\rho _2})$$ με $${\rho _{1,2}} = \frac{{ - \beta  \pm \sqrt {{b^2} - 4a\gamma } }}{{2a}}$$ 

$$2{x^2} + 5x + 3$$. Η εξίσωση $$2{x^2} + 5x + 3 = 0$$ έχει δυο λύσεις, $${\rho _{1,2}} = \frac{{ - 5 \pm \sqrt {{5^2} - 4 \cdot 2 \cdot 3} }}{2}$$, τις $${\rho _1} =  - 1$$ και $${\rho _1} =  - \frac{3}{2}$$

Έτσι το τριώνυμο γίνεται: $$2{x^2} + 5x + 3 = 2\left[ {x - ( - 1)} \right]\left[ {x - \left( { - \frac{3}{2}} \right)} \right] = 2(x + 1)\left( {x + \frac{3}{2}} \right)$$

Κοινός παράγοντας 

$$ - 4{y^2} + 4y - 1 =  - (4{y^2} - 4y + 1) =  - \left[ {{{\left( {2y} \right)}^2} - 2 \cdot \left( {2y} \right) + {1^2}} \right] =  - {\left( {2y - 1} \right)^2}$$

$$3{x^3} + 12{x^2} - 15x = 3x({x^2} + 4x - 5) = 3x\left[ {{x^2} + (5 - 1)x + ( - 1) \cdot ( + 5)} \right] = 3x(x + 5)(x - 1)$$

Παράσταση τεσσάρων όρων

Τέλειος κύβος αθροίσματος ή διαφοράς: $${\alpha ^3} \pm 3{\alpha ^2}\beta  + 3\alpha {\beta ^2} \pm {\beta ^3} = {(\alpha  \pm \beta )^3}$$

$$1 - 4y + 8{y^2} - 8{y^3} = {1^3} - 2 \cdot {1^2} \cdot (2y) + 2 \cdot 1 \cdot {(2y)^2} - {(2y)^3} = {(1 - 2y)^3}$$

Ομαδοποίηση 3-1

$${x^2} - 2x + 1 - {y^2} = ({x^2} - 2 \cdot x \cdot 1 + {1^2}) - {y^2} = {(x - 1)^2} - {y^2} = (x - 1 - y)(x - 1 + y)$$

Ομαδοποίηση 2-2 

$$9{x^3} + 9{x^2} - 4x - 4 = 9{x^2}(x + 1) - 4(x + 1) = (x + 1)(9{x^2} - 4) = (x + 1)\left[ {{{(3x)}^2} - {2^2}} \right] = (x + 1)(3x + 2)(3x - 2)$$

Διάσπαση ενός εκ των τριών όρων και δημιουργία τέταρτου

$$3{x^2} + 5xy + 2{y^2} = 3{x^2} + 3xy + 2xy + 2{y^2} = 3x(x + y) + 2y(x + y) = (x + y)(3x + 2y)$$

$${\alpha ^4} + {\beta ^4} - 7{\alpha ^2}{\beta ^2} = {\alpha ^4} + {\beta ^4} + 2{\alpha ^2}{\beta ^2} - 9{\alpha ^2}{\beta ^2} = {\left( {{\alpha ^2}} \right)^2} + {\left( {{\beta ^2}} \right)^2} + 2{\alpha ^2}{\beta ^2} - {\left( {3\alpha \beta } \right)^2} = {\left( {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} \right)^2} - {\left( {3\alpha \beta } \right)^2} = \left( {{\alpha ^2} + {\beta ^2} - 3\alpha \beta } \right)\left( {{\alpha ^2} + {\beta ^2} + 3\alpha \beta } \right)$$

Παραγοντοποίηση και εξισώσεις

Η παραγοντοποίηση οδηγεί σε παραστάσεις που περιέχουν μόνο γινόμενα $${\rm A} \cdot {\rm B} \cdot \Gamma ...$$.

Έτσι η εξίσωση $${\rm A} \cdot {\rm B} \cdot \Gamma ... = 0$$ έχει τις λύσεις: $${\rm A} = 0$$ ή $${\rm B} = 0$$ ή $$\Gamma  = 0$$  $$...$$

$${x^2} - 49 = 0 \to {x^2} - {7^2} = 0 \to (x - 7)(x + 7) = 0 \to x - 7 = 0$$ ή $$x + 7 = 0$$ $$ \to $$ $$x = 7$$ ή $$x =  - 7$$

Μια αλγεβρική παράσταση λέγεται Πολυώνυμο, όταν μεταξύ των μεταβλητών της

• σημειώνονται μόνο οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, είναι άθροισμα μονωνύμων.
• οι εκθέτες των μεταβλητών της είναι φυσικοί αριθμοί.
• Βρίσκεται στην ανηγμένη μορφή, δηλαδή έχουν ολοκληρωθεί οι αναγωγές ομοίων όρων. 

Για παράδειγμα η παράσταση $$2{x^2}y + 3{x^2}y - x{y^2} - 2x{y^2}$$ είναι το πολυώνυμο $$5{x^2}y - 3x{y^2}$$.

Ορολογία

• Όρος λέγεται κάθε μονώνυμο του πολυωνύμου.
• Διώνυμο ονομάζεται το πολυώνυμο με δυο όρους, $${x^2} - {y^2}$$.
• Διώνυμο ονομάζεται το πολυώνυμο με τρεις όρους,$${x^2} - 2xy + {y^2}$$.

.

• Βαθμός  ενός πολυωνύμου ως προς μία ή περισσότερες μεταβλητές του, είναι ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς των όρων του.

   

   

• Ίσα είναι τα πολυώνυμα που έχουν ίσα μονώνυμα. $${x^2} - 2xy + {y^2}$$ = $$a{x^2} + \beta xy + \gamma {y^2}$$, αν $$a = 1$$ & $$\beta  =  - 2$$ & $$\gamma  = 1$$
• Αντίθετα είναι  τα πολυώνυμα που έχουν μονώνυμα με αντίθετους συντελεστές  Τα πολυώνυμα $${x^2} - 2xy + {y^2}$$ και $$a{x^2} + \beta xy + \gamma {y^2}$$ είναι αντίθετα αν $$a = -1$$ & $$\beta  =   2$$ & $$\gamma  = -1$$
  

• Σταθερό πολυώνυμο είναι κάθε αριθμός. Είναι πολυώνυμο μηδενικού βαθμού.
• Μηδενικό πολυώνυμο είναι το μηδέν. Δεν ορίζεται βαθμός.
• Πολυώνυμο μιας μεταβλητής
  • Το πολυώνυμο $$ - 3x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{x^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}5$$ έχει μία μεταβλητή την x και για συντομία συμβολίζεται P(x) ή Q(x) ή A(x) κ.τ.λ.
  • Μπορούμε να το γράψουμε έτσι, ώστε κάθε όρος του να είναι μεγαλύτερου βαθμού από τον επόμενό του.Δηλαδή, P(x) =$$2{x^2}{\rm{ }} - {\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }}5$$. Τότε, λέμε, ότι γράφουμε το πολυώνυμο κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του x. 
  • H αριθμητική τιμή του πολυώνυμου P(x) για x = 5, συμβολίζεται με P(5) και είναι: P(5) = 2·5²- 3·5 + 5 = 50 - 15 + 5 = 40.

 Πράξεις πολυωνύμων

Μπορούμε να προσθέσουμε, να αφαιρέσουμε, ή να πολλαπλασιάσουμε πολυώνυμα, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών, όπως φαίνεται στα επόμενα παραδείγματα:

Για το βαθμό του αθροίσματος και του γινομένου δυο πολυωνύμων ισχύει ότι:

• Αν το άθροισμα δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι μη μηδενικό πολυώνυμο, τότε ο βαθμός του είναι ίσος ή μικρότερος από το μέγιστο των βαθμών των δυο πολυωνύμων.
• Ο βαθμός του γινομένου δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το άθροισμα των βαθμών των πολυωνύμων αυτών. 

Διαίρεση

• Αν έχουμε δύο πολυώνυμα Δ(x) (διαιρετέος) και δ(x) (διαιρέτης) με δ (x) ≠ 0 και
• κάνουμε την διαίρεση Δ(x) : δ(x) ,
• τότε βρίσκουμε ένα μοναδικό ζεύγος πολυωνύμων
• π(x) (πηλίκο) και υ(x) (υπόλοιπο) ,
• για τα οποία ισχύει:
• Δ(x) = δ(x) π(x) + υ(x) (Ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης), όπου το υ(x) ή είναι ίσο με μηδέν ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του δ(x).

Δείτε  παραδείγματα διαίρεσης

Οι Φυσικοί αριθμοί περιέχονται στους ρητούς αριθμούς
Οι Ακέραιοι αριθμοί περιέχονται στους ρητούς αριθμούς
Οι Ρητοί αριθμοί περιέχονται στους πραγματικούς αριθμούς
Οι Άρρητοι αριθμοί περιέχονται στους πραγματικούς αριθμούς

Άξονας πραγματικών αριθμών

Οι φυσικοί αριθμοί: 0, 1, 2, 3, ... παριστάνονται στη διπλανή ευθεία με σημεία.
Στην αρχή Ο έχουμε τοποθετήσει το μηδέν (0).

Οι ακέραιοι αριθμοί: ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ... παριστάνονται πάλι με σημεία.
Τοποθετούμε στα δεξιά της αρχής Ο τους θετικούς ακέραιους αριθμούς και στα αριστερά τους αρνητικούς.

Το σύνολο των ρητών αριθμών, δηλαδή των αριθμών που μπορούν να γραφούν στη μορφή, όπου μ ακέραιος και ν φυσικός αριθμός. Οι ρητοί αριθμοί έχουν γνωστή δεκαδική μορφή και γεμίζουν την ευθεία, αλλά όχι πλήρως.

Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται όχι μόνο από τους ρητούς αλλά και όλους τους άρρητους.
Οι πραγματικοί αριθμοί καλύπτουν πλήρως την ευθεία, δηλαδή κάθε σημείο της ευθείας αντιστοιχεί σε έναν πραγματικό αριθμό και αντίστροφα κάθε πραγματικός αριθμός αντιστοιχεί σε μοναδικό σημείο της ευθείας.
Για το λόγο αυτό, την ευθεία αυτή την ονομάζουμε ευθεία ή άξονα των πραγματικών αριθμών.

Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών του.

ΒΓ² = ΑΒ² + ΑΓ² 

α² = β² + γ²

Αντίστροφο Πυθαγόρειο θεώρημα

Αν ισχύει η σχέση  ΚΛ² = ΜΛ² + ΜΚ² μεταξύ των πλευρών ενός τριγώνου ΚΛΜ , τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με ορθή γωνία τη γωνία Μ. 

Περισσότερα