Μαθηματικά Γ' Γυμνασίου

Ε.Κ.Π. ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) δύο ή περισσοτέρων ακέραιων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ονομάζεται, το γινόμενο των κοινών και μη κοινών παραγόντων τους με εκθέτη καθενός το μεγαλύτερο από τους εκθέτες του.

Παράδειγμα

Ε.Κ.Π. (6(x² - y²),  4(x² - 2χy + y²),  12(x - y)³} = ?

Αναλύουμε τις παραστάσεις και τους συντελεστές τους σε γινόμενα πρώτων παραγόντων: 

$$6\left( {{x^2} - {y^2}} \right) = 2 \cdot 3(x - y)(x + y)$$

$$12{(x - y)^3} = {2^2} \cdot 3{(x - y)^3}$$

$$4({x^2} - 2xy + {y^2}) = {2^2}{(x - y)^2}$$

$${\rm E}.{\rm K}.\Pi .\left( {2 \cdot 3(x - y)(x + y){{,2}^2}{{(x - y)}^2},\,\,{2^2} \cdot 3{{(x - y)}^3}} \right) = {2^2} \cdot 3(x + y){(x - y)^3} = 12(x + y){(x - y)^3}$$

Ονομάζουμε εξίσωση την ισότητα δύο αλγεβρικών παραστάσεων που περιέχουν τουλάχιστον μια μεταβλητή που ονομάζεται άγνωστος.
π.χ. εξίσωση είναι η παράσταση 2x²+5x-3=8(x³+2)

• Η αλγεβρική παράσταση αριστερά ή δεξιά του ίσον λέγεται μέλος της εξίσωσης.
• Οι όροι που περιέχουν μεταβλητή λέγονται άγνωστοι όροι (2x², 5x, x³), ενώ οι άλλοι λέγονται γνωστοί όροι.
• Λύση ή ρίζα της εξίσωσης είναι η τιμή του αγνώστου που επαληθεύει την ισότητα.
• Η διαδικασία αναζήτησης της λύσης της εξίσωσης θα λέγεται επίλυση της εξίσωσης.
  

Εξίσωση πρώτου βαθμού

Έχει τη μορφή $$\beta x + \gamma  = 0$$.

Αν $$\beta  \ne 0$$, τότε; η εξίσωση $$\beta x + \gamma  = 0$$ έχει μοναδική λύση την $$x =  - \frac{\gamma }{\beta }$$.
Αν $$\beta  = 0$$, τότε η εξίσωση $$\beta x + \gamma  = 0$$ γράφεται $$0x =  - \gamma $$ και

• αν $$\gamma  \ne 0$$ δεν έχει λύση (αδύνατη) 0x=γ, ενώ 
• αν $$\gamma  = 0$$, κάθε αριθμός είναι λύση της (ταυτότητα ή αόριστη). 0x=0 

 Δες σε παράδειγμα τον αλγόριθμο επίλυσης εξίσωσης πρώτου βαθμού ... εδώ.

Δες σε παράδειγμα τη διαδικασία επίλυσης προβλήματος με τη χρήση εξίσωσης πρώτου βαθμού ... εδώ.

Εξίσωση δευτέρου βαβμού

Στην εξίσωση $$\alpha {x^2} + \beta x + \gamma  = 0$$, η Διακρίνουσα $$\Delta  = \sqrt {{\beta ^2} - 4a\gamma } $$ καθορίζει τις ρίζες της εξίσωσης:

• Αν $$\Delta  < 0$$, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη, δεν έχει ρίζες στους πραγματικούς αριθμούς.
• Αν $$\Delta  = 0$$, τότε η εξίσωση έχει μια διπλή πραγματική ρίζα την $$\rho  =  - \frac{\beta }{{2\alpha }}$$
• Αν $$\Delta  > 0$$, τότε 0 η εξίσωση δυο πραγματικές ρίζες τις $${\rho _{1,2}} = \frac{{ - \beta  \pm \sqrt {{\beta ^2} - 4a\gamma } }}{{2a}}$$.

Δες αναλυτικά τη θεωρία για την εξίσωση δευτέρου βαθμού ... εδώ.

 Παραγοντοποίηση και εξισώσεις

Η παραγοντοποίηση οδηγεί σε παραστάσεις που περιέχουν μόνο γινόμενα $${\rm A} \cdot {\rm B} \cdot \Gamma ...$$.

Έτσι η εξίσωση $${\rm A} \cdot {\rm B} \cdot \Gamma ... = 0$$ έχει τις λύσεις: $${\rm A} = 0$$ ή $${\rm B} = 0$$ ή $$\Gamma  = 0$$  $$...$$

$${x^2} - 49 = 0 \to {x^2} - {7^2} = 0 \to (x - 7)(x + 7) = 0 \to x - 7 = 0$$ ή $$x + 7 = 0$$ $$ \to $$ $$x = 7$$ ή $$x =  - 7$$

Κλασματική εξίσωση

Η εξίσωση, που περιέχει ένα τουλάχιστον κλάσμα με άγνωστο στον παρονομαστή και η οποία ονομάζεται κλασματική εξίσωση.

$$ \frac{4}{x+2} + \frac{4}{x} = \frac{x+8}{x^{2}} $$

Για να ορίζονται οι όροι μιας κλασματικής εξίσωσης πρέπει όλοι οι παρονομαστές να είναι διάφοροι του μηδενός. Στην προηγούμενη εξίσωση πρέπει

$$x \neq 0$$ και $$x \neq -2$$

Στις κλασματικές εξισώσεις που περιέχουν σύνθετα κλάσματα πρέπει όλοι οι εμφανιζόμενοι παρονομαστές να είναι διάφοροι του μηδενός.

Στην εξίσωση $$ \frac{1}{1+ \frac{1}{x} } =5$$ πρέπει

$$x \neq 0$$ και $$x \neq -1$$

( $$ \frac{1}{1+ \frac{1}{x} } = \frac{1}{ \frac{x+1}{x} } = \frac{x}{x+1} $$) 

Δες παράδειγμα με την αναλυτική λύση κλασματκής εξίσωσης.... εδώ.

Δες παράδειγμα επίλυσης προβλήματος με χρήση κλασματκής εξίσωσης.... εδώ.