Μαθηματικά Γ' Γυμνασίου

Ορισμοί

Τα διανυσματικά μεγέθη παριστάνονται με διανύσματα που συμβολίζονται με βέλη έχοντας ένα σημείο Α που είναι η αρχή και λέγεται σημείο εφαρμογής του διανύσματος και ένα σημείο Β που είναι το πέρας (τέλος) του διανύσματος. Το διάνυσμα, τότε, συμβολίζεται με $$\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} $$

Ένα διάνυσμα έχει τα εξής στοιχεία:

• Διεύθυνση, την ευθεία ε που ορίζουν τα άκρα Α, Β ή οποιαδήποτε άλλη ευθεία παράλληλη προς αυτή.
• Φορά, που καθορίζεται από το αν το διάνυσμα έχει αρχή το Α και πέρας το Β $$\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} $$, ή αρχή το Β και πέρας το Α $$\overrightarrow {{\rm B}{\rm A}} $$. 
• Μέτρο, το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, το οποίο συμβολίζουμε με $$\left| {\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} } \right|$$. Το μέτρο είναι πάντοτε ένας αριθμός θετικός ή μηδέν.
• Η διεύθυνση μαζί με τη φορά καθορίζουν την κατεύθυνση ενός διανύσματος.

Διανύσματα που έχουν την ίδια διεύθυνση.  Ομόρροπα - Αντίρροπα, Ίσα - Αντίθετα

Ομόρροπα λέγονται τα διανύσματα που έχουν την ίδια διεύθυνση και την ίδια φορά (ἰδια κατεύθυνση)

Δύο διανύσματα λέγονται ίσα, όταν έχουν την ίδια διεύθυνση, την ίδια φορά και ίσα μέτρα.

Αντίρροπα λέγονται τα διανύσματα που έχουν την ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά (αντίθετη κατεύθυνση) 

Δύο διανύσματα είναι αντίθετα, όταν έχουν την ίδια διεύθυνση, ίσα μέτρα και αντίθετη φορά.

ΠΡΟΣΟΧΗ:  (Τα διανύσματα $$\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} $$ και $$\overrightarrow {{\rm B}{\rm A}} $$ είναι αντίθετα $$\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}}  =  - \overrightarrow {{\rm B}{\rm A}} $$. Έχουν την ίδια διεύθυνση, αντίθετες  φορές και ίσα μέτρα $$\left| {\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{\rm B}{\rm A}} } \right|$$).

Πρόσθεση διανυσμάτων

Κανόνας παραλληλογράμμου

Μεταφέρουμε τα διανύσματα, έτσι ώστε να έχουν κοινή αρχή και σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο που έχει πλευρές τα διανύσματα. Η διαγώνιος του παραλληλογράμμου που έχει ως αρχή την κοινή τους αρχή είναι το άθροισμα των διανυσμάτων. 

Κανόνας πολυγώνου

Μεταφέρουμε παράλληλα τα διανύσματα που θέλουμε να προσθέσουμε, ώστε να γίνουν όλα διαδοχικά. Το άθροισμα των  θα είναι το διάνυσμα που θα έχει αρχή την αρχή του πρώτου και πέρας το πέρας του τελευταίου.

 Στο σχήμα ισχύει ότι $$\overrightarrow \alpha   + \overrightarrow \beta   + \overrightarrow \gamma   = \overrightarrow \delta  $$.

Αφαίρεση διανυσμάτων

Η διαφορά δύο διανυσμάτων $$\overrightarrow \alpha  $$ και  $$\overrightarrow \beta  $$ συμβολίζεται με $$\overrightarrow \alpha   - \overrightarrow \beta  $$ και ορίζεται ως άθροισμα του $$\overrightarrow \alpha  $$  με το αντίθετο διάνυσμα του $$\overrightarrow \beta  $$, δηλαδή με το $$ - \overrightarrow \beta  $$. Έτσι  $$\overrightarrow \alpha   - \overrightarrow \beta   = \overrightarrow \alpha   + ( - \overrightarrow \beta  )$$.

Μηδενικό διάνυσμα

Το μηδενικό διάνυσμα είναι ένα διάνυσμα του οποίου η αρχή και το τέλος (πέρας) ταυτίζονται. Το μηδενικό διάνυσμα συμβολίζεται με $$\overrightarrow 0 $$.
Το μηδενικό διάνυσμα είναι ένα σημείο, οπότε δεν έχει ούτε διεύθυνση ούτε φορά και το μέτρο του είναι ίσο με 0. Δηλαδή:
Το άθροισμα δύο αντίθετων διανυσμάτων είναι το μηδενικό διάνυσμα.
Το άθροισμα των διανυσμάτων του σχήματος είναι το μηδενικό διάνυσμα.

Κάθετα διανύσματα. Σύνθεση - Ανάλυση

 Σύνθεση-Πρόσθεση-Άθροισμα διανυσμάτων.

Ουσιαστικά αντικαθιστούμε τα δυο διανύσματα $$\overrightarrow \alpha  $$, $$\overrightarrow \beta  $$ με ένα $$\overrightarrow \gamma  $$ ώστε $$\overrightarrow \alpha   + \overrightarrow \beta   = \overrightarrow \gamma  $$.

• Υπολογίζουμε το μέτρο του αθροίσματος με το Πυθαγόρειο θεώρημα: $$\left| {\overrightarrow \gamma  } \right| = \sqrt {{{\left| {\overrightarrow \alpha  } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow \beta  } \right|}^2}} $$.
• Η διεύθυνση του αθροίσματος $$\overrightarrow \gamma  $$ σχηματίζει με  το διάνυσμα $$\overrightarrow \alpha  $$, π.χ., γωνία εφαπτομένης $$\varepsilon \varphi \varphi \frac{{\left| {\overrightarrow \beta  } \right|}}{{\left| {\overrightarrow \alpha  } \right|}}$$ 

Ανάλυση διανύσματος σε δυο συνιστώσες.

Αντικαθιστούμε ένα διάνυσμα $$\overrightarrow \gamma  $$  με δυο κάθετες συνιστώσες $$\overrightarrow \alpha  $$ και $$\overrightarrow \beta  $$,  που έχουν το αρχικό διάνυσμα ως άθροισμα. Χρησιμοποιούνται οι Τριγωνομετρικοί αριθμοί και προκύπτει ότι:

• $$\left| {\overrightarrow \alpha  } \right| = \left| {\overrightarrow \gamma  } \right| \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi $$
• $$\left| {\overrightarrow \beta  } \right| = \left| {\overrightarrow \gamma  } \right| \cdot \eta \mu \varphi $$ 

Δυνάμεις ρητών αριθμών με φυσικό εκθέτη

•  Για ν = 1, γράφουμε α⁰ = 1
• Για ν = 1, γράφουμε α¹ = α
• Η δύναμη α^ν διαβάζεται και νιοστή δύναμη του α.
• Η δύναμη α² λέγεται και τετράγωνο του α ή α στο τετράγωνο.
• Η δύναμη α³ λέγεται κύβος του α ή α στον κύβο.

Πρόσημο δύναμης

• Δύναμη με βάση θετικό αριθμό είναι θετικός αριθμός.  Αν α > 0, τότε α^ν > 0,  (+2)³ = +2³
• Δύναμη με βάση αρνητικό αριθμό και εκθέτη άρτιο είναι θετικός αριθμός. Αν α < 0 και ν άρτιος, τότε α^ν> 0,  (-2)⁴ = +2⁴
• Δύναμη με βάση αρνητικό αριθμό και εκθέτη περιττό είναι αρνητικός αριθμός. Αν α < 0 και ν περιττός, τότε α^ν< 0,  (-2)³ = -2³

Δυνάμεις ρητών αριθμών με ακέραιο εκθέτη

• Η δύναμη κάθε αριθμού, διάφορου του μηδενός, με εκθέτη αρνητικό είναι ίση με δύναμη μου έχει βάση τον αντίστροφο αριθμό  με αντίθετο εκθέτη.  

$$\left( \frac{ \alpha }{ \beta } \right)^{-\ ν}$$=$$\left( \frac{ \beta }{ \alpha } \right)^{\ ν}$$ , $$\left( \frac{ 2 }{ 3 } \right)^{-\ 5}$$=$$\left( \frac{ 3 }{ 2 } \right)^{\ 5}$$

Ιδιότητες δυνάμεων

• Για να πολλαπλασιάσουμε δυνάμεις με την ίδια βάση, αφήνουμε την ίδια βάση και βάζουμε εκθέτη το άθροισμα των εκθετών. α^μ · α^ν = α^μ+ν

 3² · 3³ = 3⁵,   3² · 3^- 3 = 3^{- 1} = $$ \frac{1}{3} $$

• Για να διαιρέσουμε δυνάμεις με την ίδια βάση, αφήνουμε την ίδια βάση και βάζουμε εκθέτη τη διαφορά του εκθέτη του διαιρέτη από τον εκθέτη του διαιρετέου. α^μ : α^ν = α^{μ - ν} 

3² : 3³ = 3^-1 = $$ \frac{1}{3} $$,   3² : 3^- 3 = 3^{2 - (-3)} = 3⁵

• Για να υψώσουμε ένα γινόμενο σε εκθέτη, υψώνουμε κάθε παράγοντα του γινομένου στον εκθέτη αυτό. (α · β)^μ =  α^μ · β^μ

(2 · 3)⁵ =  2⁵ · 3⁵,  2⁵ · 3⁵ = (2 · 3)⁵ = 6⁵

• Για να υψώσουμε ένα πηλίκο σε έναν εκθέτη, υψώνουμε καθένα από τους όρους του πηλίκου στον εκθέτη αυτό. $$\left( \frac{ \alpha }{ \beta } \right)^{ \nu }$$ = $$ \frac{ \alpha ^{ \nu }}{ \beta ^{ \nu }} $$

$$ \frac{4}{25} = \frac{2^{2}}{5^{2}} =\left( \frac{2}{5} \right)^{2}$$

• Για να υψώσουμε μία δύναμη σε έναν εκθέτη, υψώνουμε τη βάση της δύναμης στο γινόμενο των εκθετών. $$\left( \alpha ^{ \mu }\right)^{ \nu }= \alpha ^{ \mu \cdot \nu }$$

$$4^{3}=\left(2^{2}\right)^{3}=2^{6}$$