Μαθηματικά Γ' Γυμνασίου

Ταυτότητα λέγεται κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της.

Αξιοσημείωτες ταυτότητες

Το δεύτερα μέλη των ταυτοτήτων που ακολουθούν ονομάζονται αναπτύγματα.

Τετράγωνο αθροίσματος

$${\left( {\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}\beta } \right)^2} = {\rm{ }}{\alpha ^2} + {\rm{ }}2\alpha \beta {\rm{ }} + {\rm{ }}{\beta ^2}$$

$${\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}4} \right)^2} = {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}2 \cdot y \cdot 4{\rm{ }} + {\rm{ }}{4^2} = {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} + {\rm{ }}16$$

$${\left( {\sqrt 3  + 1} \right)^2} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {\rm{ }}2 \cdot \sqrt 3  \cdot 1{\rm{ }} + {\rm{ }}{{\rm{1}}^2} = {\rm{ }}3 + {\rm{ }}2\sqrt 3 {\rm{ }} + {\rm{ }}1 = 4 + 2\sqrt 3 {\rm{ }}$$

Τετράγωνο διαφοράς

$${\left( {\alpha {\rm{ }} - {\rm{ }}\beta } \right)^2} = {\rm{ }}{\alpha ^2} - {\rm{ }}2\alpha \beta {\rm{ }} + {\rm{ }}{\beta ^2}$$

$${\left( {\omega  - \frac{2}{\omega }} \right)^2} = {\omega ^2} - 2 \cdot \omega  \cdot \frac{2}{\omega } + {\left( {\frac{2}{\omega }} \right)^2} = {\omega ^2} - 4 + \frac{4}{{{\omega ^2}}}$$

$${\left( {1 - \sqrt 7 } \right)^2} = 1 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt 7  + {\left( {\sqrt 7 } \right)^2} = {\rm{ }}3 - {\rm{ }}2\sqrt 7 {\rm{ }} + {\rm{ 7}} = 10 - 2\sqrt 7 {\rm{ }}$$

Κύβος αθροίσματος

$${\left( {\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}\beta } \right)^3} = {\rm{ }}{\alpha ^3} + {\rm{ }}3{\alpha ^2}\beta  + 3\alpha {\beta ^2} + {\beta ^3}$$

$${\left( {{\rm{2x }} + {\rm{ 1}}} \right)^3} = {\rm{ }}{\left( {2x} \right)^3} + {\rm{ }}3 \cdot {\left( {2x} \right)^2} \cdot 1 + 3 \cdot \left( {2x} \right) \cdot {1^2} + {1^3} = 8{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1$$

$${\left( {\sqrt {\rm{2}} {\rm{ }} + {\rm{ 1}}} \right)^3} = {\rm{ }}{\left( {\sqrt {\rm{2}} } \right)^3} + {\rm{ }}3 \cdot {\left( {\sqrt {\rm{2}} } \right)^2} \cdot 1 + 3 \cdot \left( {\sqrt {\rm{2}} } \right) \cdot {1^2} + {1^3} = {\left( {\sqrt {\rm{2}} } \right)^2} \cdot \sqrt {\rm{2}}  + 3 \cdot 2 \cdot 1 + 3\sqrt 2  + 1 = 2\sqrt {\rm{2}}  + 6 + 3\sqrt 2  + 1 = 5\sqrt {\rm{2}}  + 7$$

Κύβος διαφοράς

$${\left( {\alpha {\rm{ }} - {\rm{ }}\beta } \right)^3} = {\rm{ }}{\alpha ^3} - {\rm{ }}3{\alpha ^2}\beta  + 3\alpha {\beta ^2} - {\beta ^3}$$

$${\left( {{\omega ^2} - {\rm{ }}2\omega } \right)^3} = {\left( {{\omega ^2}} \right)^3} - {\rm{ }}3 \cdot {\left( {{\omega ^2}} \right)^2} \cdot \left( {2\omega } \right) + 3 \cdot \left( {{\omega ^2}} \right) \cdot {\left( {2\omega } \right)^2} - {\left( {2\omega } \right)^3} = {\omega ^6} - 3 \cdot \left( {{\omega ^4}} \right) \cdot \left( {2\omega } \right) + 3 \cdot \left( {{\omega ^2}} \right) \cdot \left( {4{\omega ^2}} \right) - 8{\omega ^3} = {\omega ^6} - 6{\omega ^5} + 12{\omega ^4} - 8{\omega ^3}$$

$${\left( {\sqrt {\rm{2}} {\rm{  -  }}\sqrt {\rm{3}} } \right)^3} = {\rm{ }}{\left( {\sqrt {\rm{2}} } \right)^3}{\rm{ -  }}3 \cdot {\left( {\sqrt {\rm{2}} } \right)^2} \cdot \sqrt {\rm{3}}  + 3 \cdot \left( {\sqrt {\rm{2}} } \right) \cdot {\left( {\sqrt {\rm{3}} } \right)^2} - {\left( {\sqrt {\rm{3}} } \right)^3} = {\left( {\sqrt {\rm{2}} } \right)^2} \cdot \sqrt {\rm{2}}  - 3 \cdot 2 \cdot \sqrt {\rm{3}}  + 3 \cdot \sqrt 2  \cdot 3 - {\left( {\sqrt {\rm{3}} } \right)^2} \cdot \sqrt {\rm{3}}  = 2\sqrt {\rm{2}}  - 6\sqrt {\rm{3}}  + 9\sqrt 2  - 3\sqrt {\rm{3}}  = 11\sqrt 2  - 9\sqrt {\rm{3}} $$

Γινόμενο αθροίσματος επί διαφορά

$$\left( {\alpha {\rm{  +  }}\beta } \right)\left( {\alpha {\rm{ }} - {\rm{ }}\beta } \right){\rm{  =  }}{\alpha ^2} - {\rm{ }}{\beta ^2}$$

$$\left( {{\alpha ^3}{\rm{  +  }}{\beta ^3}} \right)\left( {{\alpha ^3}{\rm{ }} - {\rm{ }}{\beta ^3}} \right){\rm{  =  }}{\left( {{\alpha ^3}} \right)^2} - {\rm{ }}{\left( {{\beta ^3}} \right)^2} = {\alpha ^6}{\rm{ }} - {\rm{ }}{\beta ^6}$$

$$99 \cdot 101 = \left( {100 - 1} \right)\left( {100 + 1} \right) = {100^2} - {1^2} = 10000 - 1 = 9999$$

Τα γινόμενα του αθροίσματος ή της  διαφοράς κύβων

$$\left( {\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}\beta } \right)\left( {{\alpha ^2} - {\rm{ }}\alpha \beta {\rm{ }} + {\rm{ }}{\beta ^2}} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{\alpha ^3} + {\rm{ }}{\beta ^3}$$  

$$\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)\left( {{x^2} - {\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }}9} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)\left( {{x^2} - {\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }} + {\rm{ }}{3^2}} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}{3^3} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}27$$

$$\left( {\alpha {\rm{ }} - {\rm{ }}\beta } \right)\left( {{\alpha ^2} + {\rm{ }}\alpha \beta {\rm{ }} + {\rm{ }}{\beta ^2}} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{\alpha ^3} - {\rm{ }}{\beta ^3}$$

$$\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right)\left( {{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}4} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right)\left( {{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }} + {\rm{ }}{2^2}} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} - {\rm{ }}{2^3} = {\rm{ }}{x^3}{\rm{ }} - {\rm{ }}8$$

Ακέραιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς.

Οι Φυσικοί αριθμοί περιέχονται στους ακεραίους αριθμούς

Η απόλυτη τιμή ενός ρητού αριθμού α εκφράζει την απόσταση του σημείου μετετμημένη α από την αρχή Ο του άξονα και συμβολίζεται με |α|.

Αντίθετοι ονομάζονται δύο αριθμοί που είναι ετερόσημοι και έχουν την ίδια απόλυτη τιμή.

Ο αντίθετος του x είναι ο -x.

H απόλυτη τιμή ενός θετικού αριθμού είναι ο ίδιος ο αριθμός. |+6| = 6.

H απόλυτη τιμή ενός αρνητικού αριθμού είναι ο αντίθετός του. |-6| = -(6-)=6

H απόλυτη τιμή του μηδενός είναι το μηδέν.

ονομάζεται μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς..
Για παράδειγμα, η παράσταση  2·3-4·(-3)+5 είναι μια αριθμητική παράσταση. 

Οι αρνητικοί αριθμοί με πρόσημο - , είναι οι συμμετρικοί των θετικών αριθμών, με πρόσημο + (το οποίο παραλείπεται όταν δε δημιουργείται ασάφεια. 

• Το μηδέν δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός αριθμός
• Ομόσημοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν το ίδιο πρόσημο. +5 , +1,25 , +$$ \frac{5}{7} $$ ή -5 , -1,25 , -$$ \frac{5}{7} $$
• Ετερόσημοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν διαφορετικό πρόσημο. -5 , +7,2 

Παράσταση των ρητών αριθμών με σημεία μιας ευθείας

 Αν θεωρήσουμε αριστερά της αρχής Ο του ημιάξονα Οx των αριθμών, τον αντικείμενο αυτού ημιάξονα Οx', θα έχουμε τη δυνατότητα, με αυτόν τον τρόπο, να παραστήσουμε όλους τους ρητούς αριθμούς.

Το σημείο Α έχει τετμημένη 4 και το σημείο Β έχει τετμημένη -2.

Απόλυτη τιμή

Πράξεις με αρνητικούς αριθμούς

Πρόσθεση

• Αν οι αριθμοί είναι ομόσημοι, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμα βάζουμε το κοινό τους πρόσημο: +2+3=+(2+3)=+5 , -2-3=-(2+3)=-5
• Αν οι αριθμοί είναι ετερόσημοι, αφαιρούμε τη μικρότερη απόλυτη τιμή από τη μεγαλύτερη και στη διαφορά βάζουμε το πρόσημο της μεγαλύτερη απόλυτης τιμής: -2+3=+(3-2) =+1 , +2-3=-(3-2)=-1

Αφαίρεση

• Στον μειωτέο α, πρσθέτουμα τον αντίθετο του αφαιρετέου. α-β=α+(-β):  2-(-3)=2+(+3)=+5 , 2-(+3)=2+(-3)=-1

Πολλαπλασιασμός 

• Αν οι αριθμοί είναι ομόσημοι, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενο βάζουμε θετικό πρόσημο: (+2)·(+3)=+6 , (-2)·(-3)=+6
• Αν οι αριθμοί είναι ετερόσημοι, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενο βάζουμε αρνητικό πρόσημο: (+2)·(-3)=-6 , (-2)·(+3)=-6

Διαίρεση

• Πολλαπλασιάζουμε τον διαιρετέο α με τον αντίστροφο $$ \frac{1}{ \beta } $$ του διαιρέτη β. α:β= $$ \alpha \cdot \frac{1}{ \beta } $$, με β≠0. 
• Για τα πρόσημα ισχύει ο κανόνας του πολλαπλασιασμού.
• (+3): (-$$ \frac{3}{5} $$) = (+3)·(-$$ \frac{5}{3} $$) =-5

Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός.

• Οι άρρητοι αριθμοί δεν μπορούν να γραφούν στη μοεφή $$ \frac{ \mu }{ \nu } $$ με ν ≠ 0.
• Η δεκαδική φραφή του άρρητου αριθμού έχει άπειρα ψηφία, χωρίς να εμφανίζεται επαναλαμβανόμενο μοτίβο.
• η τετραγωνική ρίζα κάθε ακέραιου που δεν είναι τετράγωνο, είναι άρρητος.
• Υπάρχουν και άλλοι άρρητοι που δεν είναι ρίζες ρητών αριθμών, όπως ο γνωστός από τη μέτρηση του κύκλου αριθμός π.

Δυνάμεις ρητών αριθμών με φυσικό εκθέτη

•  Για ν = 1, γράφουμε α⁰ = 1
• Για ν = 1, γράφουμε α¹ = α
• Η δύναμη α^ν διαβάζεται και νιοστή δύναμη του α.
• Η δύναμη α² λέγεται και τετράγωνο του α ή α στο τετράγωνο.
• Η δύναμη α³ λέγεται κύβος του α ή α στον κύβο.

Πρόσημο δύναμης

• Δύναμη με βάση θετικό αριθμό είναι θετικός αριθμός.  Αν α > 0, τότε α^ν > 0,  (+2)³ = +2³
• Δύναμη με βάση αρνητικό αριθμό και εκθέτη άρτιο είναι θετικός αριθμός. Αν α < 0 και ν άρτιος, τότε α^ν> 0,  (-2)⁴ = +2⁴
• Δύναμη με βάση αρνητικό αριθμό και εκθέτη περιττό είναι αρνητικός αριθμός. Αν α < 0 και ν περιττός, τότε α^ν< 0,  (-2)³ = -2³

Δυνάμεις ρητών αριθμών με ακέραιο εκθέτη

• Η δύναμη κάθε αριθμού, διάφορου του μηδενός, με εκθέτη αρνητικό είναι ίση με δύναμη μου έχει βάση τον αντίστροφο αριθμό  με αντίθετο εκθέτη.  

$$\left( \frac{ \alpha }{ \beta } \right)^{-\ ν}$$=$$\left( \frac{ \beta }{ \alpha } \right)^{\ ν}$$ , $$\left( \frac{ 2 }{ 3 } \right)^{-\ 5}$$=$$\left( \frac{ 3 }{ 2 } \right)^{\ 5}$$

Ιδιότητες δυνάμεων

• Για να πολλαπλασιάσουμε δυνάμεις με την ίδια βάση, αφήνουμε την ίδια βάση και βάζουμε εκθέτη το άθροισμα των εκθετών. α^μ · α^ν = α^μ+ν

 3² · 3³ = 3⁵,   3² · 3^- 3 = 3^{- 1} = $$ \frac{1}{3} $$

• Για να διαιρέσουμε δυνάμεις με την ίδια βάση, αφήνουμε την ίδια βάση και βάζουμε εκθέτη τη διαφορά του εκθέτη του διαιρέτη από τον εκθέτη του διαιρετέου. α^μ : α^ν = α^{μ - ν} 

3² : 3³ = 3^-1 = $$ \frac{1}{3} $$,   3² : 3^- 3 = 3^{2 - (-3)} = 3⁵

• Για να υψώσουμε ένα γινόμενο σε εκθέτη, υψώνουμε κάθε παράγοντα του γινομένου στον εκθέτη αυτό. (α · β)^μ =  α^μ · β^μ

(2 · 3)⁵ =  2⁵ · 3⁵,  2⁵ · 3⁵ = (2 · 3)⁵ = 6⁵

• Για να υψώσουμε ένα πηλίκο σε έναν εκθέτη, υψώνουμε καθένα από τους όρους του πηλίκου στον εκθέτη αυτό. $$\left( \frac{ \alpha }{ \beta } \right)^{ \nu }$$ = $$ \frac{ \alpha ^{ \nu }}{ \beta ^{ \nu }} $$

$$ \frac{4}{25} = \frac{2^{2}}{5^{2}} =\left( \frac{2}{5} \right)^{2}$$

• Για να υψώσουμε μία δύναμη σε έναν εκθέτη, υψώνουμε τη βάση της δύναμης στο γινόμενο των εκθετών. $$\left( \alpha ^{ \mu }\right)^{ \nu }= \alpha ^{ \mu \cdot \nu }$$

$$4^{3}=\left(2^{2}\right)^{3}=2^{6}$$

Ιδιότητες των πράξεων

Ουδέτερο στοιχείο

• Στην πρόσθεση είναι το μηδέν: $$ \alpha +0=0+ \alpha = \alpha $$
  
• Στον πολλαπλασιασμό είναι το ένα: $$ \alpha \cdot 1=1 \cdot \alpha = \alpha $$
  

Καταστροφικό στοιχείο

• Στον πολλαπλασιασμό είναι το μηδέν: $$ \alpha \cdot 0=0 \cdot \alpha =0$$
  

Απαγορεύεται

• Η διαίρεση με το μηδέν: Η διαίρεση $$ \frac{ \alpha }{ \beta } $$ επιτρέπεται μόνο αν $$ \beta \neq 0$$

Αντίθετοι αριθμοί

• α+β=β+α=0 ή α= –β

Αντίστροφοι αριθμοί

• α·β=β·α=1 ή $$ \alpha = \frac{1}{ \beta } $$ ή $$ \beta = \frac{1}{ \alpha } $$

Αντιμεταθετική ιδιότητα

• Στην πρόσθεση: $$ \alpha + \beta = \beta + \alpha $$
• Στον πολλαπλασιασμό: $$ \alpha \cdot \beta = \beta \cdot \alpha $$

Προσεταιριστική ιδιότητα

• Στην πρόσθεση: $$ \alpha +\left( \beta + \gamma \right)=\left( \alpha + \beta \right)+ \gamma $$
• Στον πολλαπλασιασμό: $$ \alpha \cdot \left( \beta \cdot \gamma \right)=\left( \alpha \cdot \beta \right) \cdot \gamma $$

Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς

• την πρόσθεση: (α + β) · γ = α · γ + β · γ.  Mπορεί να γραφεί και στη μορφή: α · γ + β · γ= (α + β) · γ  
• την αφαίρεση: (α - β) · γ = α · γ - β · γ.  Mπορεί να γραφεί και στη μορφή: α · γ - β · γ= (α - β) · γ   
• Η δεύτερες μορφές βοηθούν στην Αναγωγή ομοίων όρων.

Οι Φυσικοί αριθμοί περιέχονται στους ρητούς αριθμούς
Οι Ακέραιοι αριθμοί περιέχονται στους ρητούς αριθμούς
Οι Ρητοί αριθμοί περιέχονται στους πραγματικούς αριθμούς
Οι Άρρητοι αριθμοί περιέχονται στους πραγματικούς αριθμούς

Άξονας πραγματικών αριθμών

Οι φυσικοί αριθμοί: 0, 1, 2, 3, ... παριστάνονται στη διπλανή ευθεία με σημεία.
Στην αρχή Ο έχουμε τοποθετήσει το μηδέν (0).

Οι ακέραιοι αριθμοί: ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ... παριστάνονται πάλι με σημεία.
Τοποθετούμε στα δεξιά της αρχής Ο τους θετικούς ακέραιους αριθμούς και στα αριστερά τους αρνητικούς.

Το σύνολο των ρητών αριθμών, δηλαδή των αριθμών που μπορούν να γραφούν στη μορφή, όπου μ ακέραιος και ν φυσικός αριθμός. Οι ρητοί αριθμοί έχουν γνωστή δεκαδική μορφή και γεμίζουν την ευθεία, αλλά όχι πλήρως.

Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται όχι μόνο από τους ρητούς αλλά και όλους τους άρρητους.
Οι πραγματικοί αριθμοί καλύπτουν πλήρως την ευθεία, δηλαδή κάθε σημείο της ευθείας αντιστοιχεί σε έναν πραγματικό αριθμό και αντίστροφα κάθε πραγματικός αριθμός αντιστοιχεί σε μοναδικό σημείο της ευθείας.
Για το λόγο αυτό, την ευθεία αυτή την ονομάζουμε ευθεία ή άξονα των πραγματικών αριθμών.

Οι ρητοί αριθμοί μπορούν να γραφούν σε μορφή κλάσματος με ακέραιους όρους που είναι πρώτοι αριθμοί και παρονομαστή διάφορο του μηδενός.

Μορφή ρητού αριθμού: $$ \frac{ \mu }{ \nu } $$ με ν ≠ 0 κια Μ.Κ.Δ. (μ,ν) =1

Κάθε ρητός αριθμός μπορεί να γραφεί και σε δεκαδική μορφή. Αυτό γίνεται κάνοντας τη διαίρεση μ / ν.

Η διαίρεση αυτή μπορεί

• να ολοκληρωθεί π.χ. $$ \frac{1}{8} $$  = 0,125
• ή όχι π.χ. $$ \frac{1}{7} $$ = 0,142857142857.... Για τη δεύτερη περίπτωση λέμε ότι η δεκαδική γραφή ενός ρητού αριθμού είναι πάντα περιοδική.

Οι Φυσικοί αριθμοί περιέχονται στους ρητούς αριθμούς
Οι Ακέραιοι αριθμοί περιέχονται στους ρητούς αριθμούς