Μαθηματικά Γ' Γυμνασίου

Ταυτότητα λέγεται κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της.

Αξιοσημείωτες ταυτότητες

Το δεύτερα μέλη των ταυτοτήτων που ακολουθούν ονομάζονται αναπτύγματα.

Τετράγωνο αθροίσματος

${\left( {\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}\beta } \right)^2} = {\rm{ }}{\alpha ^2} + {\rm{ }}2\alpha \beta {\rm{ }} + {\rm{ }}{\beta ^2}$

${\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}4} \right)^2} = {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}2 \cdot y \cdot 4{\rm{ }} + {\rm{ }}{4^2} = {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} + {\rm{ }}16$

${\left( {\sqrt 3  + 1} \right)^2} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {\rm{ }}2 \cdot \sqrt 3  \cdot 1{\rm{ }} + {\rm{ }}{{\rm{1}}^2} = {\rm{ }}3 + {\rm{ }}2\sqrt 3 {\rm{ }} + {\rm{ }}1 = 4 + 2\sqrt 3 {\rm{ }}$

Τετράγωνο διαφοράς

${\left( {\alpha {\rm{ }} - {\rm{ }}\beta } \right)^2} = {\rm{ }}{\alpha ^2} - {\rm{ }}2\alpha \beta {\rm{ }} + {\rm{ }}{\beta ^2}$

${\left( {\omega  - \frac{2}{\omega }} \right)^2} = {\omega ^2} - 2 \cdot \omega  \cdot \frac{2}{\omega } + {\left( {\frac{2}{\omega }} \right)^2} = {\omega ^2} - 4 + \frac{4}{{{\omega ^2}}}$

${\left( {1 - \sqrt 7 } \right)^2} = 1 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt 7  + {\left( {\sqrt 7 } \right)^2} = {\rm{ }}3 - {\rm{ }}2\sqrt 7 {\rm{ }} + {\rm{ 7}} = 10 - 2\sqrt 7 {\rm{ }}$

Κύβος αθροίσματος

${\left( {\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}\beta } \right)^3} = {\rm{ }}{\alpha ^3} + {\rm{ }}3{\alpha ^2}\beta  + 3\alpha {\beta ^2} + {\beta ^3}$

${\left( {{\rm{2x }} + {\rm{ 1}}} \right)^3} = {\rm{ }}{\left( {2x} \right)^3} + {\rm{ }}3 \cdot {\left( {2x} \right)^2} \cdot 1 + 3 \cdot \left( {2x} \right) \cdot {1^2} + {1^3} = 8{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1$

${\left( {\sqrt {\rm{2}} {\rm{ }} + {\rm{ 1}}} \right)^3} = {\rm{ }}{\left( {\sqrt {\rm{2}} } \right)^3} + {\rm{ }}3 \cdot {\left( {\sqrt {\rm{2}} } \right)^2} \cdot 1 + 3 \cdot \left( {\sqrt {\rm{2}} } \right) \cdot {1^2} + {1^3} = {\left( {\sqrt {\rm{2}} } \right)^2} \cdot \sqrt {\rm{2}}  + 3 \cdot 2 \cdot 1 + 3\sqrt 2  + 1 = 2\sqrt {\rm{2}}  + 6 + 3\sqrt 2  + 1 = 5\sqrt {\rm{2}}  + 7$

Κύβος διαφοράς

${\left( {\alpha {\rm{ }} - {\rm{ }}\beta } \right)^3} = {\rm{ }}{\alpha ^3} - {\rm{ }}3{\alpha ^2}\beta  + 3\alpha {\beta ^2} - {\beta ^3}$

${\left( {{\omega ^2} - {\rm{ }}2\omega } \right)^3} = {\left( {{\omega ^2}} \right)^3} - {\rm{ }}3 \cdot {\left( {{\omega ^2}} \right)^2} \cdot \left( {2\omega } \right) + 3 \cdot \left( {{\omega ^2}} \right) \cdot {\left( {2\omega } \right)^2} - {\left( {2\omega } \right)^3} = {\omega ^6} - 3 \cdot \left( {{\omega ^4}} \right) \cdot \left( {2\omega } \right) + 3 \cdot \left( {{\omega ^2}} \right) \cdot \left( {4{\omega ^2}} \right) - 8{\omega ^3} = {\omega ^6} - 6{\omega ^5} + 12{\omega ^4} - 8{\omega ^3}$

${\left( {\sqrt {\rm{2}} {\rm{  -  }}\sqrt {\rm{3}} } \right)^3} = {\rm{ }}{\left( {\sqrt {\rm{2}} } \right)^3}{\rm{ -  }}3 \cdot {\left( {\sqrt {\rm{2}} } \right)^2} \cdot \sqrt {\rm{3}}  + 3 \cdot \left( {\sqrt {\rm{2}} } \right) \cdot {\left( {\sqrt {\rm{3}} } \right)^2} - {\left( {\sqrt {\rm{3}} } \right)^3} = {\left( {\sqrt {\rm{2}} } \right)^2} \cdot \sqrt {\rm{2}}  - 3 \cdot 2 \cdot \sqrt {\rm{3}}  + 3 \cdot \sqrt 2  \cdot 3 - {\left( {\sqrt {\rm{3}} } \right)^2} \cdot \sqrt {\rm{3}}  = 2\sqrt {\rm{2}}  - 6\sqrt {\rm{3}}  + 9\sqrt 2  - 3\sqrt {\rm{3}}  = 11\sqrt 2  - 9\sqrt {\rm{3}}$

Γινόμενο αθροίσματος επί διαφορά

$\left( {\alpha {\rm{  +  }}\beta } \right)\left( {\alpha {\rm{ }} - {\rm{ }}\beta } \right){\rm{  =  }}{\alpha ^2} - {\rm{ }}{\beta ^2}$

$\left( {{\alpha ^3}{\rm{  +  }}{\beta ^3}} \right)\left( {{\alpha ^3}{\rm{ }} - {\rm{ }}{\beta ^3}} \right){\rm{  =  }}{\left( {{\alpha ^3}} \right)^2} - {\rm{ }}{\left( {{\beta ^3}} \right)^2} = {\alpha ^6}{\rm{ }} - {\rm{ }}{\beta ^6}$

$99 \cdot 101 = \left( {100 - 1} \right)\left( {100 + 1} \right) = {100^2} - {1^2} = 10000 - 1 = 9999$

Τα γινόμενα του αθροίσματος ή της  διαφοράς κύβων

$\left( {\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}\beta } \right)\left( {{\alpha ^2} - {\rm{ }}\alpha \beta {\rm{ }} + {\rm{ }}{\beta ^2}} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{\alpha ^3} + {\rm{ }}{\beta ^3}$  

$\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)\left( {{x^2} - {\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }}9} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)\left( {{x^2} - {\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }} + {\rm{ }}{3^2}} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}{3^3} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}27$

$\left( {\alpha {\rm{ }} - {\rm{ }}\beta } \right)\left( {{\alpha ^2} + {\rm{ }}\alpha \beta {\rm{ }} + {\rm{ }}{\beta ^2}} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{\alpha ^3} - {\rm{ }}{\beta ^3}$

$\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right)\left( {{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}4} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right)\left( {{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }} + {\rm{ }}{2^2}} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} - {\rm{ }}{2^3} = {\rm{ }}{x^3}{\rm{ }} - {\rm{ }}8$

Τετρ. ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετρ. ρίζα του α συμβολίζεται με  $\sqrt{ \alpha }$.

 Ιδιότητες

• $\sqrt 0  = 0$
• Η εξίσωση β' βαθμού x²=α έχει δυο λύσεις x = $\sqrt{ \alpha }$ και x = -$\sqrt{ \alpha }$
• $\sqrt {\alpha  \cdot \beta }  = \sqrt \alpha   \cdot \sqrt \beta$
• $\sqrt {\frac{\alpha }{\beta }}  = \frac{{\sqrt \alpha  }}{{\sqrt \beta  }}$

Προσοχή!

• $\sqrt {\alpha  + \beta }  \ne \sqrt \alpha   + \sqrt \beta$
• $\sqrt {\alpha  - \beta }  \ne \sqrt \alpha   - \sqrt \beta$

Χρήσιμες ιδιότητες για την απλοποίηση παραστάσεων

Ρίζα δύναμης με άρτιο εκθέτη: $\sqrt {{\alpha ^{2\nu }}}  = \sqrt {{{\left( {{\alpha ^\nu }} \right)}^2}}  = {\alpha ^\nu }$

Ρίζα δύναμης με περιττό εκθέτη: $\sqrt {{\alpha ^{2\nu  + 1}}}  = \sqrt {\alpha  \cdot {\alpha ^{2\nu }}}  = \sqrt \alpha   \cdot {\alpha ^\nu }$

Ορισμοί

Για τις οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου δίνονται οι εξής ορισμοί.

${\rm E}\Phi {\rm A}\Pi {\rm T}{\rm O}{\rm M}{\rm E}{\rm N}{\rm H} = \frac{{{\rm A}\Pi {\rm E}{\rm N}{\rm A}{\rm N}{\rm T}{\rm I}\,\,{\rm K}{\rm A}\Theta {\rm E}{\rm T}{\rm H}}}{{\Pi {\rm P}{\rm O}\Sigma {\rm K}{\rm E}{\rm I}{\rm M}{\rm E}{\rm N}{\rm H}\,\,{\rm K}{\rm A}\Theta {\rm E}{\rm T}{\rm H}}}$

${\rm H}{\rm M}{\rm I}{\rm T}{\rm O}{\rm N}{\rm O} = \frac{{{\rm A}\Pi {\rm E}{\rm N}{\rm A}{\rm N}{\rm T}{\rm I}\,\,{\rm K}{\rm A}\Theta {\rm E}{\rm T}{\rm H}}}{{\Upsilon \Pi {\rm O}{\rm T}{\rm E}{\rm I}{\rm N}{\rm O}\Upsilon \Sigma {\rm A}}}$

$\Sigma \Upsilon {\rm N}{\rm H}{\rm M}{\rm I}{\rm T}{\rm O}{\rm N}{\rm O} = \frac{{\Pi {\rm P}{\rm O}\Sigma {\rm K}{\rm E}{\rm I}{\rm M}{\rm E}{\rm N}{\rm H}\,\,{\rm K}{\rm A}\Theta {\rm E}{\rm T}{\rm H}}}{{\Upsilon \Pi {\rm O}{\rm T}{\rm E}{\rm I}{\rm N}{\rm O}\Upsilon \Sigma {\rm A}}}$

$\begin{array}{l}\varepsilon \varphi {\rm B} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{{\rm A}{\rm B}}} = \frac{\beta }{\gamma }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\varepsilon \varphi \Gamma  = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{{\rm A}\Gamma }} = \frac{\gamma }{\beta }\\\eta \mu {\rm B} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{\Gamma {\rm B}}} = \frac{\beta }{\alpha }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\eta \mu \Gamma  = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{\Gamma {\rm B}}} = \frac{\gamma }{\alpha }\\\sigma \upsilon \nu {\rm B} = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{\Gamma {\rm B}}} = \frac{\gamma }{\alpha }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sigma \upsilon \nu \Gamma  = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{\Gamma {\rm B}}} = \frac{\beta }{\alpha }\end{array}$

Γνωρίζουμε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η υποτείνουσα είναι μεγαλύτερη από καθεμία από τις κάθετες πλευρές. Επομένως ισχύουν οι ανισώσεις:  0 < ημω < 1 και 0 < συνω < 1

  Σχέσεις τριγωνομετρικών αριθμών

Για κάθε γωνία ισχύει ότι $\varepsilon \varphi \omega  = \frac{{\eta \mu \omega }}{{\sigma \upsilon \nu \omega }}\,\,\,\,\left\{ {\frac{{\eta \mu \Gamma }}{{\sigma \upsilon \nu \Gamma }} = \frac{{\frac{\gamma }{\alpha }}}{{\frac{\beta }{\alpha }}} = \frac{{\gamma  \cdot \alpha }}{{\beta  \cdot \alpha }} = \frac{\gamma }{\beta } = \varepsilon \varphi \Gamma } \right\}$

Όπως φαίνεται $\eta \mu {\rm B} = \sigma \upsilon \nu \Gamma  = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{\Gamma {\rm B}}} = \frac{\beta }{\alpha }\,$ και $\eta \mu \Gamma  = \sigma \upsilon \nu {\rm B} = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{\Gamma {\rm B}}} = \frac{\gamma }{\alpha }$, δηλαδή το ημίτονο μιας γωνίας ισούται με το συνημίτονο της συμπληρωματικής της.

Παρατηρήστε ότι $\,\varepsilon \varphi \Gamma  = \frac{1}{{\varepsilon \varphi {\rm B}}}$, δηλαδή οι εφαπτομένες συμπληρωματικών γωνιών είναι αριθμοί αντίστροφοι, έχουν γινόμενο 1 $\varepsilon \varphi {\rm B} \cdot \varepsilon \varphi \Gamma  = \frac{\gamma }{\beta } \cdot \frac{\beta }{\gamma } = 1\,$.

Μεταβολές τριγωνομετρικών αριθμών οξειών γωνιών

Όταν μια οξεία γωνία αυξάνεται↑, τότε: αυξάνεται το ημίτονό↑ της, ελαττώνεται το συνημίτονό↓ της και αυξάνεται η εφαπτομένη↑ της.

Χαρακτηριστικές τιμές τριγωνομετρικών αριθμών οξειών γωνιών

$\begin{array}{ccccccccccccccc}{}&{{{30}^o}}&{{{45}^o}}&{{{60}^o}}\\{\eta \mu }&{\frac{1}{2}}&{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}&{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\{\sigma \upsilon \nu }&{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}&{\frac{1}{2}}\\{\varepsilon \varphi }&{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}&1&{\sqrt 3 }\end{array}$