Μαθηματικά Γ' Γυμνασίου

Μ.Κ.Δ. ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων

Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης ( Μ.Κ.Δ. ) δύο ή περισσοτέρων ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ονομάζεται, το γινόμενο των κοινών παραγόντων τους με εκθέτη καθενός το μικρότερο από τους εκθέτες του. 

Παράδειγμα

Μ.Κ.Δ. (6(x² - y²),  4(x² - 2χy + y²),  12(x - y)³} = ?

Αναλύουμε τις παραστάσεις και τους συντελεστές τους σε γινόμενα πρώτων παραγόντων: 

$$6\left( {{x^2} - {y^2}} \right) = 2 \cdot 3(x - y)(x + y)$$

$$12{(x - y)^3} = {2^2} \cdot 3{(x - y)^3}$$

$$4({x^2} - 2xy + {y^2}) = {2^2}{(x - y)^2}$$

$${\rm M}.{\rm K}.\Delta .\left( {2 \cdot 3(x - y)(x + y){{,2}^2}{{(x - y)}^2},\,\,{2^2} \cdot 3{{(x - y)}^3}} \right) = 2(x - y)$$

λέγεται ένα γράμμα π.χ x,y,z,ω,…( ελληνικό ή λατινικό) που παριστάνει έναν οποιοδήποτε αριθμό.

Χρησιμοποιώντας μεταβλητές "μεταφράζουμε" μια φράση σε Αλγεβρική παράσταση.

Παράδειγμα: Το άθροισμα δύο αριθμών πολλαπλασιασμένο επί 9. Αν συμβολίσουμε τους αριθμούς x και y τότε το άθροισμά τους είναι x+y και η ζητούμενη αλγεβρική παράσταση 9(x+y).

Μια Ακέραια αλγεβρική παράσταση λέγεται Μονώνυμο, όταν μεταξύ των μεταβλητών της

• σημειώνεται μόνο η πράξη του πολλαπλασιασμού και
• οι εκθέτες των μεταβλητών της είναι φυσικοί αριθμοί.

Για παράδειγμα οι παραστάσεις $$ - 2{x^2}y,\,\,(3 - \sqrt 2 )x{y^3}\,$$ είναι μονώνυμα ενώ οι $$ - 2{x^2}\sqrt y ,\,\,3 - \sqrt 2 x{y^3},\,\,\frac{x}{y}$$ δεν είναι.

Ορολογία

• Συντελεστής λέγεται ο αριθμητικός παράγοντας του μονωνύμου.
• Κύριο μέρος του μονωνύμου λέγεται το γινόμενο όλων των μεταβλητών του με τους αντίστοιχους εκθέτες τους

. 

• Βαθμός του μονωνύμου ως προς μια  μεταβλητή  λέγεται ο εκθέτης της μεταβλητής ,
• Βαθμός του μονωνύμου ως προς όλες τις μεταβλητές του λέγεται το άθροισμα των εκθετών των μεταβλητών του.

• Όμοια είναι τα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος. $$ - 2{x^2}y,\,\,(2 - \sqrt 3 ){x^2}y,\,\,{x^2}y$$.
• Ίσα είναι τα όμοια μονώνυμα με ίσους συτελεστές. $$ - 2{x^2}y$$, $$a{x^2}y$$ με $$a = -2$$
• Αντίθετα είναι τα μονώνυμα με αντίθετους συντελεστές $${x^2}y$$, $$a{x^2}y$$ με $$a =  - 1$$

•  Σταθερό μονώνυμο είναι κάθε αριθμός. Είναι μονώνυμο μηδενικού βαθμού.
• Μηδενικό μονώνυμο είναι το μηδέν. Δεν ορίζεται βαθμός.

 Πράξεις μονωνύμων

Το άθροισμα ομοίων μονωνύμων είναι μονώνυμο όμοιο με αυτά και έχει συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών τους (Αναγωγή ομοίων όρων).

$$2\sqrt 3 {x^2}y - \,\,(2 - \sqrt 3 ){x^2}y - \,\,{x^2}y = $$
$$2\sqrt 3 {x^2}y - \,\,2{x^2}y + \sqrt 3 {x^2}y - \,\,{x^2}y = $$
$$(2\sqrt 3 - \,\,2 + \sqrt 3 - \,\,1){x^2}y = $$
$$(3\sqrt 3 - \,\,3){x^2}y = $$
$$3(\sqrt 3 - \,\,1){x^2}y$$

Το γινόμενο μονωνύμων είναι μονώνυμο με:

• συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών τους και
• κύριο μέρος το γινόμενο όλων των μεταβλητών τους με εκθέτη κάθε μεταβλητής το άθροισμα των εκθετών της. 

$$2\sqrt 3 {x^2}y\omega \cdot \,( - \frac{1}{6})x{y^2} = $$
$$2\sqrt 3 \cdot ( - \frac{1}{6}){x^{2 + 1}}{y^{1 + 2}}\omega = $$
$$ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}{x^3}{y^3}\omega $$

 Για να διαιρέσουμε μονώνυμα πολλαπλασιάζουμε τον διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη. 

$$2\sqrt 3 {x^2}y:\,\left[ {( - \frac{1}{6})x{y^2}\omega } \right] = $$

$$2\sqrt 3 {x^2}y \cdot \,\frac{1}{{( - \frac{1}{6})x{y^2}\omega }} = $$

$$\frac{{2\sqrt 3 }}{{( - \frac{1}{6})}} \cdot \frac{{{x^2}}}{x} \cdot \,\frac{y}{{{y^2}}} \cdot \frac{1}{\omega } = $$

$$ - 12\sqrt {3 \cdot } {x^{2 - 1}} \cdot {y^{1 - 2}} \cdot {\omega ^{ - 1}} = $$

$$\frac{{ - 12\sqrt 3 x}}{{y\omega }}$$

Στη  διαίρεση μονωνύμων μπορεί να προκύψει μονώνυμο μικρότερου βαθμού ($$5{x^2}y:\,\,({x^{}}y) = 5x$$), σταθερό μονώνυμο ($$5{x^2}y:\,\,({x^2}y) = 5$$)  ή μη ακέραια αλγεβρική παράσταση όπως στο παράδειγμα.