Μαθηματικά Γ' Γυμνασίου

Ιδιότητες των πράξεων

Ουδέτερο στοιχείο

• Στην πρόσθεση είναι το μηδέν: $$ \alpha +0=0+ \alpha = \alpha $$
  
• Στον πολλαπλασιασμό είναι το ένα: $$ \alpha \cdot 1=1 \cdot \alpha = \alpha $$
  

Καταστροφικό στοιχείο

• Στον πολλαπλασιασμό είναι το μηδέν: $$ \alpha \cdot 0=0 \cdot \alpha =0$$
  

Απαγορεύεται

• Η διαίρεση με το μηδέν: Η διαίρεση $$ \frac{ \alpha }{ \beta } $$ επιτρέπεται μόνο αν $$ \beta \neq 0$$

Αντίθετοι αριθμοί

• α+β=β+α=0 ή α= –β

Αντίστροφοι αριθμοί

• α·β=β·α=1 ή $$ \alpha = \frac{1}{ \beta } $$ ή $$ \beta = \frac{1}{ \alpha } $$

Αντιμεταθετική ιδιότητα

• Στην πρόσθεση: $$ \alpha + \beta = \beta + \alpha $$
• Στον πολλαπλασιασμό: $$ \alpha \cdot \beta = \beta \cdot \alpha $$

Προσεταιριστική ιδιότητα

• Στην πρόσθεση: $$ \alpha +\left( \beta + \gamma \right)=\left( \alpha + \beta \right)+ \gamma $$
• Στον πολλαπλασιασμό: $$ \alpha \cdot \left( \beta \cdot \gamma \right)=\left( \alpha \cdot \beta \right) \cdot \gamma $$

Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς

• την πρόσθεση: (α + β) · γ = α · γ + β · γ.  Mπορεί να γραφεί και στη μορφή: α · γ + β · γ= (α + β) · γ  
• την αφαίρεση: (α - β) · γ = α · γ - β · γ.  Mπορεί να γραφεί και στη μορφή: α · γ - β · γ= (α - β) · γ   
• Η δεύτερες μορφές βοηθούν στην Αναγωγή ομοίων όρων.

Ιδιότητες ισότητας

Χρήσιμες ιδιότητες πράξεων
Αν α=β τότε α+γ=β+γ. Αν και στα δύο μέλη μιας ισότητας προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.
Αν α=β τότε α-γ=β-γ.  Αν και από τα δύο μέλη μιας ισότητας αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.
Αν α=β τότε α·γ=β·γ. Αν και τα δύο μέλη μιας ισότητας πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.
Αν α=β τότε $$ \frac{ \alpha }{ \gamma } = \frac{ \beta }{ \gamma } $$  με γ≠0. Αν και τα δύο μέλη μιας ισότητας διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.