Μαθηματικά Β' Γυμνασίου

Τετρ. ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετρ. ρίζα του α συμβολίζεται με  $$ \sqrt{ \alpha } $$.

 Ιδιότητες

• $$\sqrt 0  = 0$$
• Η εξίσωση β' βαθμού x²=α έχει δυο λύσεις x = $$ \sqrt{ \alpha } $$ και x = -$$ \sqrt{ \alpha } $$
• $$\sqrt {\alpha  \cdot \beta }  = \sqrt \alpha   \cdot \sqrt \beta  $$
• $$\sqrt {\frac{\alpha }{\beta }}  = \frac{{\sqrt \alpha  }}{{\sqrt \beta  }}$$

Προσοχή!

• $$\sqrt {\alpha  + \beta }  \ne \sqrt \alpha   + \sqrt \beta  $$
• $$\sqrt {\alpha  - \beta }  \ne \sqrt \alpha   - \sqrt \beta  $$

Χρήσιμες ιδιότητες για την απλοποίηση παραστάσεων

Ρίζα δύναμης με άρτιο εκθέτη: $$\sqrt {{\alpha ^{2\nu }}}  = \sqrt {{{\left( {{\alpha ^\nu }} \right)}^2}}  = {\alpha ^\nu }$$

Ρίζα δύναμης με περιττό εκθέτη: $$\sqrt {{\alpha ^{2\nu  + 1}}}  = \sqrt {\alpha  \cdot {\alpha ^{2\nu }}}  = \sqrt \alpha   \cdot {\alpha ^\nu }$$

Ορισμοί

Για τις οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου δίνονται οι εξής ορισμοί.

$${\rm E}\Phi {\rm A}\Pi {\rm T}{\rm O}{\rm M}{\rm E}{\rm N}{\rm H} = \frac{{{\rm A}\Pi {\rm E}{\rm N}{\rm A}{\rm N}{\rm T}{\rm I}\,\,{\rm K}{\rm A}\Theta {\rm E}{\rm T}{\rm H}}}{{\Pi {\rm P}{\rm O}\Sigma {\rm K}{\rm E}{\rm I}{\rm M}{\rm E}{\rm N}{\rm H}\,\,{\rm K}{\rm A}\Theta {\rm E}{\rm T}{\rm H}}}$$

$${\rm H}{\rm M}{\rm I}{\rm T}{\rm O}{\rm N}{\rm O} = \frac{{{\rm A}\Pi {\rm E}{\rm N}{\rm A}{\rm N}{\rm T}{\rm I}\,\,{\rm K}{\rm A}\Theta {\rm E}{\rm T}{\rm H}}}{{\Upsilon \Pi {\rm O}{\rm T}{\rm E}{\rm I}{\rm N}{\rm O}\Upsilon \Sigma {\rm A}}}$$

$$\Sigma \Upsilon {\rm N}{\rm H}{\rm M}{\rm I}{\rm T}{\rm O}{\rm N}{\rm O} = \frac{{\Pi {\rm P}{\rm O}\Sigma {\rm K}{\rm E}{\rm I}{\rm M}{\rm E}{\rm N}{\rm H}\,\,{\rm K}{\rm A}\Theta {\rm E}{\rm T}{\rm H}}}{{\Upsilon \Pi {\rm O}{\rm T}{\rm E}{\rm I}{\rm N}{\rm O}\Upsilon \Sigma {\rm A}}}$$

$$\begin{array}{l}\varepsilon \varphi {\rm B} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{{\rm A}{\rm B}}} = \frac{\beta }{\gamma }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\varepsilon \varphi \Gamma  = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{{\rm A}\Gamma }} = \frac{\gamma }{\beta }\\\eta \mu {\rm B} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{\Gamma {\rm B}}} = \frac{\beta }{\alpha }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\eta \mu \Gamma  = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{\Gamma {\rm B}}} = \frac{\gamma }{\alpha }\\\sigma \upsilon \nu {\rm B} = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{\Gamma {\rm B}}} = \frac{\gamma }{\alpha }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sigma \upsilon \nu \Gamma  = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{\Gamma {\rm B}}} = \frac{\beta }{\alpha }\end{array}$$

Γνωρίζουμε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η υποτείνουσα είναι μεγαλύτερη από καθεμία από τις κάθετες πλευρές. Επομένως ισχύουν οι ανισώσεις:  0 < ημω < 1 και 0 < συνω < 1

  Σχέσεις τριγωνομετρικών αριθμών

Για κάθε γωνία ισχύει ότι $$\varepsilon \varphi \omega  = \frac{{\eta \mu \omega }}{{\sigma \upsilon \nu \omega }}\,\,\,\,\left\{ {\frac{{\eta \mu \Gamma }}{{\sigma \upsilon \nu \Gamma }} = \frac{{\frac{\gamma }{\alpha }}}{{\frac{\beta }{\alpha }}} = \frac{{\gamma  \cdot \alpha }}{{\beta  \cdot \alpha }} = \frac{\gamma }{\beta } = \varepsilon \varphi \Gamma } \right\}$$

Όπως φαίνεται $$\eta \mu {\rm B} = \sigma \upsilon \nu \Gamma  = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{\Gamma {\rm B}}} = \frac{\beta }{\alpha }\,$$ και $$\eta \mu \Gamma  = \sigma \upsilon \nu {\rm B} = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{\Gamma {\rm B}}} = \frac{\gamma }{\alpha }$$, δηλαδή το ημίτονο μιας γωνίας ισούται με το συνημίτονο της συμπληρωματικής της.

Παρατηρήστε ότι $$\,\varepsilon \varphi \Gamma  = \frac{1}{{\varepsilon \varphi {\rm B}}}$$, δηλαδή οι εφαπτομένες συμπληρωματικών γωνιών είναι αριθμοί αντίστροφοι, έχουν γινόμενο 1 $$\varepsilon \varphi {\rm B} \cdot \varepsilon \varphi \Gamma  = \frac{\gamma }{\beta } \cdot \frac{\beta }{\gamma } = 1\,$$.

Μεταβολές τριγωνομετρικών αριθμών οξειών γωνιών

Όταν μια οξεία γωνία αυξάνεται↑, τότε: αυξάνεται το ημίτονό↑ της, ελαττώνεται το συνημίτονό↓ της και αυξάνεται η εφαπτομένη↑ της.

Χαρακτηριστικές τιμές τριγωνομετρικών αριθμών οξειών γωνιών

$$\begin{array}{ccccccccccccccc}{}&{{{30}^o}}&{{{45}^o}}&{{{60}^o}}\\{\eta \mu }&{\frac{1}{2}}&{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}&{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\{\sigma \upsilon \nu }&{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}&{\frac{1}{2}}\\{\varepsilon \varphi }&{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}&1&{\sqrt 3 }\end{array}$$