Μαθηματικά Β' Γυμνασίου

Κάθε πρίσμα έχει:

δύο έδρες παράλληλες, που είναι ίσα πολύγωνα και τις άλλες έδρες του που είναι ορθογώνια παραλληλόγραμμα και ονομάζονται παράπλευρες έδρες.

Οι δύο παράλληλες έδρες του λέγονται βάσεις του πρίσματος.

Οι παράπλευρες έδρες σχηματίζουν την παράπλευρη επιφάνεια του πρίσματος. Οι πλευρές των εδρών του πρίσματος ονομάζονται ακμές.

Περισσότερα...

Η πυραμίδα είναι γεωμετρικό στερεό. Είναι πολύεδρο που σχηματίζεται με ένα ν-γωνο ως βάση και ν τριγωνικές πλευρές που συνδέονται σε μια κορυφή.

Περισσότερα...

Σφαίρα λέγεται το στερεό σώμα που παράγεται, αν περιστρέψουμε ένα κυκλικό δίσκο (Ο, ρ) γύρω από μία διάμετρό του.

Περισσότερα...

Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών του.

ΒΓ² = ΑΒ² + ΑΓ² 

α² = β² + γ²

Αντίστροφο Πυθαγόρειο θεώρημα

Αν ισχύει η σχέση  ΚΛ² = ΜΛ² + ΜΚ² μεταξύ των πλευρών ενός τριγώνου ΚΛΜ , τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με ορθή γωνία τη γωνία Μ. 

Περισσότερα

Σύγκριση

Για να συγκρίνουμε λοιπόν δύο πραγματικούς αριθμούς α και β, που δεν έχουν παρασταθεί με σημεία ενός άξονα, βρίσκουμε τη διαφορά τους α - β και εξετάζουμε αν είναι θετική ή αρνητική ή μηδέν.

Αν α - β > 0 τότε α > β
Αν α - β < 0 τότε α< β
Αν α - β = 0 τότε α = β

Διάταξη

Δύο ή περισσότεροι πραγματικοί αριθμοί που έχουν παρασταθεί με σημεία ενός άξονα είναι διατεταγμένοι. Άρα:

Κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από το μηδέν.
Κάθε αρνητικός αριθμός είναι μικρότερος από το μηδέν.
Κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από κάθε αρνητικό αριθμό.

Ιδιότητες ανισότητας- διάταξης

Αν α > β τότε α + γ > β + γ και α - γ > β - γ.  Αν και στα δύο μέλη μιας ανισότητας προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά.

Αν α > β και γ > 0 τότε α γ > β γ και $$ \frac{ \alpha }{ \gamma } > \frac{ \beta }{ \gamma } $$.  Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέλη μιας ανισότητας με τον ίδιο θετικό αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά.

Αν α > β και γ < 0 τότε α γ < β γ και $$ \frac{ \alpha }{ \gamma } < \frac{ \beta }{ \gamma } $$.  Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέλη μιας ανισότητας με τον ίδιο αρνητικό αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα αντίθετης φοράς

Αν α > β και γ > δ τότε α + γ > β + δ. Αν προσθέσουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες που έχουν την ίδια φορά, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά..

Αν α, β, γ, δ θετικοί αριθμοί με α > β και γ > δ τότε αγ > βδ.  Αν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες που έχουν την ίδια φορά και θετικά μέλη, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά.

α² ≥ 0. Το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού α είναι μη αρνητικός αριθμός. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει α² + β² = 0, τότε α = 0 και β = 0.

Αν α > β και β > γ τότε α > γ. Μεταβατική ιδιότητα.

Δείτε παράδειγμα ασκήσεων με ανισώσεις ... εδώ.

Ονομάζουμε εξίσωση την ισότητα δύο αλγεβρικών παραστάσεων που περιέχουν τουλάχιστον μια μεταβλητή που ονομάζεται άγνωστος.
π.χ. εξίσωση είναι η παράσταση 2x²+5x-3=8(x³+2)

• Η αλγεβρική παράσταση αριστερά ή δεξιά του ίσον λέγεται μέλος της εξίσωσης.
• Οι όροι που περιέχουν μεταβλητή λέγονται άγνωστοι όροι (2x², 5x, x³), ενώ οι άλλοι λέγονται γνωστοί όροι.
• Λύση ή ρίζα της εξίσωσης είναι η τιμή του αγνώστου που επαληθεύει την ισότητα.
• Η διαδικασία αναζήτησης της λύσης της εξίσωσης θα λέγεται επίλυση της εξίσωσης.
  

Εξίσωση πρώτου βαθμού

Έχει τη μορφή .

Αν , τότε; η εξίσωση  έχει μοναδική λύση την .
Αν , τότε η εξίσωση  γράφεται και

• αν  δεν έχει λύση (αδύνατη) 0x=γ, ενώ 
• αν , κάθε αριθμός είναι λύση της (ταυτότητα ή αόριστη). 0x=0 

 Δες σε παράδειγμα τον αλγόριθμο επίλυσης εξίσωσης πρώτου βαθμού ... εδώ.

Δες σε παράδειγμα τη διαδικασία επίλυσης προβλήματος με τη χρήση εξίσωσης πρώτου βαθμού ... εδώ.

Ιδιότητες ισότητας

Χρήσιμες ιδιότητες πράξεων
Αν α=β τότε α+γ=β+γ. Αν και στα δύο μέλη μιας ισότητας προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.
Αν α=β τότε α-γ=β-γ.  Αν και από τα δύο μέλη μιας ισότητας αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.
Αν α=β τότε α·γ=β·γ. Αν και τα δύο μέλη μιας ισότητας πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.
Αν α=β τότε $$ \frac{ \alpha }{ \gamma } = \frac{ \beta }{ \gamma } $$  με γ≠0. Αν και τα δύο μέλη μιας ισότητας διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.

• Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι περιττός αριθμός, παίρνουμε ως διάμεσο τη μεσαία παρατήρηση.
• Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιο, παίρνουμε ως διάμεσο το μέσο όρο των δύο μεσαίων παρατηρήσεων.

Η διάμεσος «προσεγγίζει» καλύτερα την τιμή που έχουν οι περισσότερες παρατηρήσεις.

Μέσος όρος, Μέση τιμή

Για να βρούμε τη μέση τιμή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουμε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούμε με το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών.

Η μέση τιμή δεν μπορεί να είναι μικρότερη από τη μικρότερη των τιμών ή μεγαλύτερη από τη μεγαλύτερη, επηρεάζεται δε σημαντικά από τις μεγάλες τιμές.

Οι γραφικές παραστάσεις των ακόλουθων συναρτήσεων είναι ευθείες γραμμές:

  Ευθεία παράλληλη στον άξονα  που περνά από το σημείο 

  Ευθεία παράλληλη στον άξονα  που περνά από το σημείο 

  Ευθεία με κλίση   που περνά από το σημείο , την αρχή των αξόνων. Είναι η γραφική παράσταση των ανάλογων μεγεθών.

  Ευθεία με κλίση   που τον άξονα  στο σημείο  και τον άξονα  στο σημείο 

Δείτε περισσότερα... εδώ.