Μαθηματικά Β' Γυμνασίου

Ε.Κ.Π. φυσικών αριθμών

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) δύο ή περισσοτέρων φυσικών αριθμών που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ονομάζεται, το γινόμενο των κοινών και μη κοινών παραγόντων τους με εκθέτη καθενός το μεγαλύτερο από τους εκθέτες του.

Παράδειγμα

Δίνονται οι αριθμοί 720, 540 και 360. Αναλύουμε τους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων:

720 = 2·360 = 2·2·180 = 2·2·2·90 = 2·2·2·2·45 = 2⁴·3·15 = 2⁴·3·3·5 =  2⁴·3²·5¹

360 = 2·180 = 2·2·90 = 2·2·2·45 = 2³·3·15 = 2³·3·3·5 =  2³·3²·5¹

540 = 2·270 = 2·2·135 = 2²·3·45 = 2²·3·3·15 = 2²·3·3·3·5 =  2²·3³·5¹

E.Κ.Π.(  720, 540, 630) = E.Κ.Π.( 2⁴·3²·5¹,  2²·3³·5¹, 2³·3²·5¹) = 2⁴·3³·5¹=2160

Ένας πιο απλός τρόπος:

• Πολλαπλάσια 720 : 720 , 1440 , 2160 , 2880 ...
• Πολλαπλάσια 360 : 360 , 720 , 1080 , 1440 , 1800 , 2160 , 2520 ...
• Πολλαπλάσια 540 : 540 , 1080 , 1620 , 2160 , 2520 ..

Ιδιότητες των πράξεων

Ουδέτερο στοιχείο

• Στην πρόσθεση είναι το μηδέν: $$ \alpha +0=0+ \alpha = \alpha $$
  
• Στον πολλαπλασιασμό είναι το ένα: $$ \alpha \cdot 1=1 \cdot \alpha = \alpha $$
  

Καταστροφικό στοιχείο

• Στον πολλαπλασιασμό είναι το μηδέν: $$ \alpha \cdot 0=0 \cdot \alpha =0$$
  

Απαγορεύεται

• Η διαίρεση με το μηδέν: Η διαίρεση $$ \frac{ \alpha }{ \beta } $$ επιτρέπεται μόνο αν $$ \beta \neq 0$$

Αντίθετοι αριθμοί

• α+β=β+α=0 ή α= –β

Αντίστροφοι αριθμοί

• α·β=β·α=1 ή $$ \alpha = \frac{1}{ \beta } $$ ή $$ \beta = \frac{1}{ \alpha } $$

Αντιμεταθετική ιδιότητα

• Στην πρόσθεση: $$ \alpha + \beta = \beta + \alpha $$
• Στον πολλαπλασιασμό: $$ \alpha \cdot \beta = \beta \cdot \alpha $$

Προσεταιριστική ιδιότητα

• Στην πρόσθεση: $$ \alpha +\left( \beta + \gamma \right)=\left( \alpha + \beta \right)+ \gamma $$
• Στον πολλαπλασιασμό: $$ \alpha \cdot \left( \beta \cdot \gamma \right)=\left( \alpha \cdot \beta \right) \cdot \gamma $$

Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς

• την πρόσθεση: (α + β) · γ = α · γ + β · γ.  Mπορεί να γραφεί και στη μορφή: α · γ + β · γ= (α + β) · γ  
• την αφαίρεση: (α - β) · γ = α · γ - β · γ.  Mπορεί να γραφεί και στη μορφή: α · γ - β · γ= (α - β) · γ   
• Η δεύτερες μορφές βοηθούν στην Αναγωγή ομοίων όρων.

Μ.Κ.Δ. φυσικών αριθμών

Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης ( Μ.Κ.Δ. ) δύο ή περισσοτέρων φυσικών αριθμών που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ονομάζεται, το γινόμενο των κοινών παραγόντων τους με εκθέτη καθενός το μικρότερο από τους εκθέτες του. 

Παράδειγμα

Για μα βρούμε τον Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη των αριθμών αναλύουμε τους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων:

720 = 2·360 = 2·2·180 = 2·2·2·90 = 2·2·2·2·45 = 2⁴·3·15 = 2⁴·3·3·5 =  2⁴·3²·5¹

360 = 2·180 = 2·2·90 = 2·2·2·45 = 2³·3·15 = 2³·3·3·5 =  2³·3²·5¹

540 = 2·270 = 2·2·135 = 2²·3·45 = 2²·3·3·15 = 2²·3·3·3·5 =  2²·3³·5¹

Μ.Κ.Δ.(  720, 540, 630) = Μ.Κ.Δ.( 2⁴·3²·5¹,  2²·3³·5¹, 2³·3²·5¹) = 2²·3²·5¹ = 180

 Ένας πιο απλός τρόπος:

Οι Φυσικοί αριθμοί περιέχονται στους ρητούς αριθμούς
Οι Ακέραιοι αριθμοί περιέχονται στους ρητούς αριθμούς
Οι Ρητοί αριθμοί περιέχονται στους πραγματικούς αριθμούς
Οι Άρρητοι αριθμοί περιέχονται στους πραγματικούς αριθμούς

Άξονας πραγματικών αριθμών

Οι φυσικοί αριθμοί: 0, 1, 2, 3, ... παριστάνονται στη διπλανή ευθεία με σημεία.
Στην αρχή Ο έχουμε τοποθετήσει το μηδέν (0).

Οι ακέραιοι αριθμοί: ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ... παριστάνονται πάλι με σημεία.
Τοποθετούμε στα δεξιά της αρχής Ο τους θετικούς ακέραιους αριθμούς και στα αριστερά τους αρνητικούς.

Το σύνολο των ρητών αριθμών, δηλαδή των αριθμών που μπορούν να γραφούν στη μορφή, όπου μ ακέραιος και ν φυσικός αριθμός. Οι ρητοί αριθμοί έχουν γνωστή δεκαδική μορφή και γεμίζουν την ευθεία, αλλά όχι πλήρως.

Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται όχι μόνο από τους ρητούς αλλά και όλους τους άρρητους.
Οι πραγματικοί αριθμοί καλύπτουν πλήρως την ευθεία, δηλαδή κάθε σημείο της ευθείας αντιστοιχεί σε έναν πραγματικό αριθμό και αντίστροφα κάθε πραγματικός αριθμός αντιστοιχεί σε μοναδικό σημείο της ευθείας.
Για το λόγο αυτό, την ευθεία αυτή την ονομάζουμε ευθεία ή άξονα των πραγματικών αριθμών.

Οι ρητοί αριθμοί μπορούν να γραφούν σε μορφή κλάσματος με ακέραιους όρους που είναι πρώτοι αριθμοί και παρονομαστή διάφορο του μηδενός.

Μορφή ρητού αριθμού: $$ \frac{ \mu }{ \nu } $$ με ν ≠ 0 κια Μ.Κ.Δ. (μ,ν) =1

Κάθε ρητός αριθμός μπορεί να γραφεί και σε δεκαδική μορφή. Αυτό γίνεται κάνοντας τη διαίρεση μ / ν.

Η διαίρεση αυτή μπορεί

• να ολοκληρωθεί π.χ. $$ \frac{1}{8} $$  = 0,125
• ή όχι π.χ. $$ \frac{1}{7} $$ = 0,142857142857.... Για τη δεύτερη περίπτωση λέμε ότι η δεκαδική γραφή ενός ρητού αριθμού είναι πάντα περιοδική.

Οι Φυσικοί αριθμοί περιέχονται στους ρητούς αριθμούς
Οι Ακέραιοι αριθμοί περιέχονται στους ρητούς αριθμούς

Τετρ. ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετρ. ρίζα του α συμβολίζεται με  $$ \sqrt{ \alpha } $$.

 Ιδιότητες

• $$\sqrt 0  = 0$$
• Η εξίσωση β' βαθμού x²=α έχει δυο λύσεις x = $$ \sqrt{ \alpha } $$ και x = -$$ \sqrt{ \alpha } $$
• $$\sqrt {\alpha  \cdot \beta }  = \sqrt \alpha   \cdot \sqrt \beta  $$
• $$\sqrt {\frac{\alpha }{\beta }}  = \frac{{\sqrt \alpha  }}{{\sqrt \beta  }}$$

Προσοχή!

• $$\sqrt {\alpha  + \beta }  \ne \sqrt \alpha   + \sqrt \beta  $$
• $$\sqrt {\alpha  - \beta }  \ne \sqrt \alpha   - \sqrt \beta  $$

Χρήσιμες ιδιότητες για την απλοποίηση παραστάσεων

Ρίζα δύναμης με άρτιο εκθέτη: $$\sqrt {{\alpha ^{2\nu }}}  = \sqrt {{{\left( {{\alpha ^\nu }} \right)}^2}}  = {\alpha ^\nu }$$

Ρίζα δύναμης με περιττό εκθέτη: $$\sqrt {{\alpha ^{2\nu  + 1}}}  = \sqrt {\alpha  \cdot {\alpha ^{2\nu }}}  = \sqrt \alpha   \cdot {\alpha ^\nu }$$

Οι αριθμοί 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6......... 98, 99, 100........ 1999, 2000, 2001, ... ονομάζονται φυσικοί αριθμοί.

Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο και ένα προηγούμενο φυσικό αριθμό, εκτός από το 0 που έχει μόνο επόμενο, το 1.

Περισσότερα...

Είναι το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει την κορυφή ενός τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς.

Ένας κύλινδρος αποτελείται από δύο ίσους και παράλληλους κυκλικούς δίσκους, που είναι οι βάσεις του, και την παράπλευρη επιφάνεια, που, αν την ξετυλίξουμε, θα δούμε ότι έχει σχήμα ορθογωνίου.

Η απόσταση των δύο βάσεων λέγεται ύψος του κυλίνδρου.

Περισσότερα...