Μαθηματικά Β' Γυμνασίου

Είναι το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει την κορυφή ενός τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς.

Δυνάμεις ρητών αριθμών με φυσικό εκθέτη

•  Για ν = 1, γράφουμε α⁰ = 1
• Για ν = 1, γράφουμε α¹ = α
• Η δύναμη α^ν διαβάζεται και νιοστή δύναμη του α.
• Η δύναμη α² λέγεται και τετράγωνο του α ή α στο τετράγωνο.
• Η δύναμη α³ λέγεται κύβος του α ή α στον κύβο.

Πρόσημο δύναμης

• Δύναμη με βάση θετικό αριθμό είναι θετικός αριθμός.  Αν α > 0, τότε α^ν > 0,  (+2)³ = +2³
• Δύναμη με βάση αρνητικό αριθμό και εκθέτη άρτιο είναι θετικός αριθμός. Αν α < 0 και ν άρτιος, τότε α^ν> 0,  (-2)⁴ = +2⁴
• Δύναμη με βάση αρνητικό αριθμό και εκθέτη περιττό είναι αρνητικός αριθμός. Αν α < 0 και ν περιττός, τότε α^ν< 0,  (-2)³ = -2³

Δυνάμεις ρητών αριθμών με ακέραιο εκθέτη

• Η δύναμη κάθε αριθμού, διάφορου του μηδενός, με εκθέτη αρνητικό είναι ίση με δύναμη μου έχει βάση τον αντίστροφο αριθμό  με αντίθετο εκθέτη.  

$$\left( \frac{ \alpha }{ \beta } \right)^{-\ ν}$$=$$\left( \frac{ \beta }{ \alpha } \right)^{\ ν}$$ , $$\left( \frac{ 2 }{ 3 } \right)^{-\ 5}$$=$$\left( \frac{ 3 }{ 2 } \right)^{\ 5}$$

Ιδιότητες δυνάμεων

• Για να πολλαπλασιάσουμε δυνάμεις με την ίδια βάση, αφήνουμε την ίδια βάση και βάζουμε εκθέτη το άθροισμα των εκθετών. α^μ · α^ν = α^μ+ν

 3² · 3³ = 3⁵,   3² · 3^- 3 = 3^{- 1} = $$ \frac{1}{3} $$

• Για να διαιρέσουμε δυνάμεις με την ίδια βάση, αφήνουμε την ίδια βάση και βάζουμε εκθέτη τη διαφορά του εκθέτη του διαιρέτη από τον εκθέτη του διαιρετέου. α^μ : α^ν = α^{μ - ν} 

3² : 3³ = 3^-1 = $$ \frac{1}{3} $$,   3² : 3^- 3 = 3^{2 - (-3)} = 3⁵

• Για να υψώσουμε ένα γινόμενο σε εκθέτη, υψώνουμε κάθε παράγοντα του γινομένου στον εκθέτη αυτό. (α · β)^μ =  α^μ · β^μ

(2 · 3)⁵ =  2⁵ · 3⁵,  2⁵ · 3⁵ = (2 · 3)⁵ = 6⁵

• Για να υψώσουμε ένα πηλίκο σε έναν εκθέτη, υψώνουμε καθένα από τους όρους του πηλίκου στον εκθέτη αυτό. $$\left( \frac{ \alpha }{ \beta } \right)^{ \nu }$$ = $$ \frac{ \alpha ^{ \nu }}{ \beta ^{ \nu }} $$

$$ \frac{4}{25} = \frac{2^{2}}{5^{2}} =\left( \frac{2}{5} \right)^{2}$$

• Για να υψώσουμε μία δύναμη σε έναν εκθέτη, υψώνουμε τη βάση της δύναμης στο γινόμενο των εκθετών. $$\left( \alpha ^{ \mu }\right)^{ \nu }= \alpha ^{ \mu \cdot \nu }$$

$$4^{3}=\left(2^{2}\right)^{3}=2^{6}$$

Ε.Κ.Π. φυσικών αριθμών

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) δύο ή περισσοτέρων φυσικών αριθμών που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ονομάζεται, το γινόμενο των κοινών και μη κοινών παραγόντων τους με εκθέτη καθενός το μεγαλύτερο από τους εκθέτες του.

Παράδειγμα

Δίνονται οι αριθμοί 720, 540 και 360. Αναλύουμε τους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων:

720 = 2·360 = 2·2·180 = 2·2·2·90 = 2·2·2·2·45 = 2⁴·3·15 = 2⁴·3·3·5 =  2⁴·3²·5¹

360 = 2·180 = 2·2·90 = 2·2·2·45 = 2³·3·15 = 2³·3·3·5 =  2³·3²·5¹

540 = 2·270 = 2·2·135 = 2²·3·45 = 2²·3·3·15 = 2²·3·3·3·5 =  2²·3³·5¹

E.Κ.Π.(  720, 540, 630) = E.Κ.Π.( 2⁴·3²·5¹,  2²·3³·5¹, 2³·3²·5¹) = 2⁴·3³·5¹=2160

Ένας πιο απλός τρόπος:

• Πολλαπλάσια 720 : 720 , 1440 , 2160 , 2880 ...
• Πολλαπλάσια 360 : 360 , 720 , 1080 , 1440 , 1800 , 2160 , 2520 ...
• Πολλαπλάσια 540 : 540 , 1080 , 1620 , 2160 , 2520 ..

Ονομάζουμε εξίσωση την ισότητα δύο αλγεβρικών παραστάσεων που περιέχουν τουλάχιστον μια μεταβλητή που ονομάζεται άγνωστος.
π.χ. εξίσωση είναι η παράσταση 2x²+5x-3=8(x³+2)

• Η αλγεβρική παράσταση αριστερά ή δεξιά του ίσον λέγεται μέλος της εξίσωσης.
• Οι όροι που περιέχουν μεταβλητή λέγονται άγνωστοι όροι (2x², 5x, x³), ενώ οι άλλοι λέγονται γνωστοί όροι.
• Λύση ή ρίζα της εξίσωσης είναι η τιμή του αγνώστου που επαληθεύει την ισότητα.
• Η διαδικασία αναζήτησης της λύσης της εξίσωσης θα λέγεται επίλυση της εξίσωσης.
  

Εξίσωση πρώτου βαθμού

Έχει τη μορφή .

Αν , τότε; η εξίσωση  έχει μοναδική λύση την .
Αν , τότε η εξίσωση  γράφεται και

• αν  δεν έχει λύση (αδύνατη) 0x=γ, ενώ 
• αν , κάθε αριθμός είναι λύση της (ταυτότητα ή αόριστη). 0x=0 

 Δες σε παράδειγμα τον αλγόριθμο επίλυσης εξίσωσης πρώτου βαθμού ... εδώ.

Δες σε παράδειγμα τη διαδικασία επίλυσης προβλήματος με τη χρήση εξίσωσης πρώτου βαθμού ... εδώ.

Οι γραφικές παραστάσεις των ακόλουθων συναρτήσεων είναι ευθείες γραμμές:

  Ευθεία παράλληλη στον άξονα  που περνά από το σημείο 

  Ευθεία παράλληλη στον άξονα  που περνά από το σημείο 

  Ευθεία με κλίση   που περνά από το σημείο , την αρχή των αξόνων. Είναι η γραφική παράσταση των ανάλογων μεγεθών.

  Ευθεία με κλίση   που τον άξονα  στο σημείο  και τον άξονα  στο σημείο 

Δείτε περισσότερα... εδώ.

Ιδιότητες των πράξεων

Ουδέτερο στοιχείο

• Στην πρόσθεση είναι το μηδέν: $$ \alpha +0=0+ \alpha = \alpha $$
  
• Στον πολλαπλασιασμό είναι το ένα: $$ \alpha \cdot 1=1 \cdot \alpha = \alpha $$
  

Καταστροφικό στοιχείο

• Στον πολλαπλασιασμό είναι το μηδέν: $$ \alpha \cdot 0=0 \cdot \alpha =0$$
  

Απαγορεύεται

• Η διαίρεση με το μηδέν: Η διαίρεση $$ \frac{ \alpha }{ \beta } $$ επιτρέπεται μόνο αν $$ \beta \neq 0$$

Αντίθετοι αριθμοί

• α+β=β+α=0 ή α= –β

Αντίστροφοι αριθμοί

• α·β=β·α=1 ή $$ \alpha = \frac{1}{ \beta } $$ ή $$ \beta = \frac{1}{ \alpha } $$

Αντιμεταθετική ιδιότητα

• Στην πρόσθεση: $$ \alpha + \beta = \beta + \alpha $$
• Στον πολλαπλασιασμό: $$ \alpha \cdot \beta = \beta \cdot \alpha $$

Προσεταιριστική ιδιότητα

• Στην πρόσθεση: $$ \alpha +\left( \beta + \gamma \right)=\left( \alpha + \beta \right)+ \gamma $$
• Στον πολλαπλασιασμό: $$ \alpha \cdot \left( \beta \cdot \gamma \right)=\left( \alpha \cdot \beta \right) \cdot \gamma $$

Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς

• την πρόσθεση: (α + β) · γ = α · γ + β · γ.  Mπορεί να γραφεί και στη μορφή: α · γ + β · γ= (α + β) · γ  
• την αφαίρεση: (α - β) · γ = α · γ - β · γ.  Mπορεί να γραφεί και στη μορφή: α · γ - β · γ= (α - β) · γ   
• Η δεύτερες μορφές βοηθούν στην Αναγωγή ομοίων όρων.

Ιδιότητες ισότητας

Χρήσιμες ιδιότητες πράξεων
Αν α=β τότε α+γ=β+γ. Αν και στα δύο μέλη μιας ισότητας προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.
Αν α=β τότε α-γ=β-γ.  Αν και από τα δύο μέλη μιας ισότητας αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.
Αν α=β τότε α·γ=β·γ. Αν και τα δύο μέλη μιας ισότητας πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.
Αν α=β τότε $$ \frac{ \alpha }{ \gamma } = \frac{ \beta }{ \gamma } $$  με γ≠0. Αν και τα δύο μέλη μιας ισότητας διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.

Ένας κύλινδρος αποτελείται από δύο ίσους και παράλληλους κυκλικούς δίσκους, που είναι οι βάσεις του, και την παράπλευρη επιφάνεια, που, αν την ξετυλίξουμε, θα δούμε ότι έχει σχήμα ορθογωνίου.

Η απόσταση των δύο βάσεων λέγεται ύψος του κυλίνδρου.

Περισσότερα...

Μ.Κ.Δ. φυσικών αριθμών

Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης ( Μ.Κ.Δ. ) δύο ή περισσοτέρων φυσικών αριθμών που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ονομάζεται, το γινόμενο των κοινών παραγόντων τους με εκθέτη καθενός το μικρότερο από τους εκθέτες του. 

Παράδειγμα

Για μα βρούμε τον Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη των αριθμών αναλύουμε τους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων:

720 = 2·360 = 2·2·180 = 2·2·2·90 = 2·2·2·2·45 = 2⁴·3·15 = 2⁴·3·3·5 =  2⁴·3²·5¹

360 = 2·180 = 2·2·90 = 2·2·2·45 = 2³·3·15 = 2³·3·3·5 =  2³·3²·5¹

540 = 2·270 = 2·2·135 = 2²·3·45 = 2²·3·3·15 = 2²·3·3·3·5 =  2²·3³·5¹

Μ.Κ.Δ.(  720, 540, 630) = Μ.Κ.Δ.( 2⁴·3²·5¹,  2²·3³·5¹, 2³·3²·5¹) = 2²·3²·5¹ = 180

 Ένας πιο απλός τρόπος: