Μαθηματικά Β' Γυμνασίου

Ακέραιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς.

Οι Φυσικοί αριθμοί περιέχονται στους ακεραίους αριθμούς

Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς και μεταβλητές ονομάζεται αλγεβρική παράσταση.
Για παράδειγμα, η παράσταση 2·x- 5·x+5 είναι μια αλγεβρική παράσταση.

Όταν γράφουμε αλγεβρικές παραστάσεις, συνήθως δε βάζουμε το σύμβολο (·) του πολλαπλασιασμού μεταξύ των αριθμών και των μεταβλητών ή μεταξύ των μεταβλητών. Έτσι η προηγούμενη παράσταση γράφεται 2x- 5x+5.

Oι προσθετέοι  2x & 5x & 5  λέγονται όροι αυτής.

Απλοποιούμε τη μορφή των παραστάσεων κάνοντας Αναγωγή ομοίων όρων . 

Η διαδικασία αυτή με την οποία γράφουμε σε απλούστερη μορφή αλγεβρικές παραστάσεις, ονομάζεται «αναγωγή ομοίων όρων». Βασίζεται στην Eπιμεριστική ιδιότητα.

7 · α + 8 · α = (7 + 8) · α = 15 · α
x + 4 · x – 2 · x = (1 + 4 – 2) · x = 3 · x
5 · t – 6 · t – 8 · t = (5 – 6 – 8) · t = –9 · t

Σύγκριση

Για να συγκρίνουμε λοιπόν δύο πραγματικούς αριθμούς α και β, που δεν έχουν παρασταθεί με σημεία ενός άξονα, βρίσκουμε τη διαφορά τους α - β και εξετάζουμε αν είναι θετική ή αρνητική ή μηδέν.

Αν α - β > 0 τότε α > β
Αν α - β < 0 τότε α< β
Αν α - β = 0 τότε α = β

Διάταξη

Δύο ή περισσότεροι πραγματικοί αριθμοί που έχουν παρασταθεί με σημεία ενός άξονα είναι διατεταγμένοι. Άρα:

Κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από το μηδέν.
Κάθε αρνητικός αριθμός είναι μικρότερος από το μηδέν.
Κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από κάθε αρνητικό αριθμό.

Ιδιότητες ανισότητας- διάταξης

Αν α > β τότε α + γ > β + γ και α - γ > β - γ.  Αν και στα δύο μέλη μιας ανισότητας προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά.

Αν α > β και γ > 0 τότε α γ > β γ και $$ \frac{ \alpha }{ \gamma } > \frac{ \beta }{ \gamma } $$.  Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέλη μιας ανισότητας με τον ίδιο θετικό αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά.

Αν α > β και γ < 0 τότε α γ < β γ και $$ \frac{ \alpha }{ \gamma } < \frac{ \beta }{ \gamma } $$.  Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέλη μιας ανισότητας με τον ίδιο αρνητικό αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα αντίθετης φοράς

Αν α > β και γ > δ τότε α + γ > β + δ. Αν προσθέσουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες που έχουν την ίδια φορά, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά..

Αν α, β, γ, δ θετικοί αριθμοί με α > β και γ > δ τότε αγ > βδ.  Αν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες που έχουν την ίδια φορά και θετικά μέλη, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά.

α² ≥ 0. Το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού α είναι μη αρνητικός αριθμός. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει α² + β² = 0, τότε α = 0 και β = 0.

Αν α > β και β > γ τότε α > γ. Μεταβατική ιδιότητα.

Δείτε παράδειγμα ασκήσεων με ανισώσεις ... εδώ.

Ονομάζουμε ανίσωση την ανισότητα δύο αλγεβρικών παραστάσεων που περιέχουν τουλάχιστον μια μεταβλητή που ονομάζεται άγνωστος.

π.χ. ανίσωση είναι η παράσταση 2x+5x-3≥8(x+2)

• Η αλγεβρική παράσταση αριστερά ή δεξιά του ίσον λέγεται μέλος της ανίσωσης.
• Οι όροι που περιέχουν μεταβλητή λέγονται άγνωστοι όροι (2x, 5x, x), ενώ οι άλλοι λέγονται γνωστοί όροι.
• Λύση ή ρίζα της ανίσωσης είναι η τιμές του αγνώστου που επαληθεύουν την ανιισότητα.
• Η διαδικασία αναζήτησης της λύσης της ανίσωσης λέγεται επίλυση της ανίσωσης. 

Δείτε παράδειγμα ασκήσεων με ανισώσεις ... εδώ.

Η απόλυτη τιμή ενός ρητού αριθμού α εκφράζει την απόσταση του σημείου μετετμημένη α από την αρχή Ο του άξονα και συμβολίζεται με |α|.

Αντίθετοι ονομάζονται δύο αριθμοί που είναι ετερόσημοι και έχουν την ίδια απόλυτη τιμή.

Ο αντίθετος του x είναι ο -x.

H απόλυτη τιμή ενός θετικού αριθμού είναι ο ίδιος ο αριθμός. |+6| = 6.

H απόλυτη τιμή ενός αρνητικού αριθμού είναι ο αντίθετός του. |-6| = -(6-)=6

H απόλυτη τιμή του μηδενός είναι το μηδέν.

ονομάζεται μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς..
Για παράδειγμα, η παράσταση  2·3-4·(-3)+5 είναι μια αριθμητική παράσταση. 

Οι αρνητικοί αριθμοί με πρόσημο - , είναι οι συμμετρικοί των θετικών αριθμών, με πρόσημο + (το οποίο παραλείπεται όταν δε δημιουργείται ασάφεια. 

• Το μηδέν δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός αριθμός
• Ομόσημοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν το ίδιο πρόσημο. +5 , +1,25 , +$$ \frac{5}{7} $$ ή -5 , -1,25 , -$$ \frac{5}{7} $$
• Ετερόσημοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν διαφορετικό πρόσημο. -5 , +7,2 

Παράσταση των ρητών αριθμών με σημεία μιας ευθείας

 Αν θεωρήσουμε αριστερά της αρχής Ο του ημιάξονα Οx των αριθμών, τον αντικείμενο αυτού ημιάξονα Οx', θα έχουμε τη δυνατότητα, με αυτόν τον τρόπο, να παραστήσουμε όλους τους ρητούς αριθμούς.

Το σημείο Α έχει τετμημένη 4 και το σημείο Β έχει τετμημένη -2.

Απόλυτη τιμή

Πράξεις με αρνητικούς αριθμούς

Πρόσθεση

• Αν οι αριθμοί είναι ομόσημοι, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμα βάζουμε το κοινό τους πρόσημο: +2+3=+(2+3)=+5 , -2-3=-(2+3)=-5
• Αν οι αριθμοί είναι ετερόσημοι, αφαιρούμε τη μικρότερη απόλυτη τιμή από τη μεγαλύτερη και στη διαφορά βάζουμε το πρόσημο της μεγαλύτερη απόλυτης τιμής: -2+3=+(3-2) =+1 , +2-3=-(3-2)=-1

Αφαίρεση

• Στον μειωτέο α, πρσθέτουμα τον αντίθετο του αφαιρετέου. α-β=α+(-β):  2-(-3)=2+(+3)=+5 , 2-(+3)=2+(-3)=-1

Πολλαπλασιασμός 

• Αν οι αριθμοί είναι ομόσημοι, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενο βάζουμε θετικό πρόσημο: (+2)·(+3)=+6 , (-2)·(-3)=+6
• Αν οι αριθμοί είναι ετερόσημοι, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενο βάζουμε αρνητικό πρόσημο: (+2)·(-3)=-6 , (-2)·(+3)=-6

Διαίρεση

• Πολλαπλασιάζουμε τον διαιρετέο α με τον αντίστροφο $$ \frac{1}{ \beta } $$ του διαιρέτη β. α:β= $$ \alpha \cdot \frac{1}{ \beta } $$, με β≠0. 
• Για τα πρόσημα ισχύει ο κανόνας του πολλαπλασιασμού.
• (+3): (-$$ \frac{3}{5} $$) = (+3)·(-$$ \frac{5}{3} $$) =-5

Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός.

• Οι άρρητοι αριθμοί δεν μπορούν να γραφούν στη μοεφή $$ \frac{ \mu }{ \nu } $$ με ν ≠ 0.
• Η δεκαδική φραφή του άρρητου αριθμού έχει άπειρα ψηφία, χωρίς να εμφανίζεται επαναλαμβανόμενο μοτίβο.
• η τετραγωνική ρίζα κάθε ακέραιου που δεν είναι τετράγωνο, είναι άρρητος.
• Υπάρχουν και άλλοι άρρητοι που δεν είναι ρίζες ρητών αριθμών, όπως ο γνωστός από τη μέτρηση του κύκλου αριθμός π.