Θεωρία: Τριγωνομετρία

Περάστε τουλάχιστον 40 λεπτά σε αυτήν τη δραστηριότητα

Προσπάθεια: 28

Τριγωνομετρικοί αριθμοί

Ορισμοί

Για τις οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου δίνονται οι εξής ορισμοί.

straight E capital phi straight A capital pi straight T straight O straight M straight E straight N straight H equals fraction numerator straight A capital pi straight E straight N straight A straight N straight T straight I     straight K straight A capital theta straight E straight T straight H over denominator capital pi straight P straight O capital sigma straight K straight E straight I straight M straight E straight N straight H     straight K straight A capital theta straight E straight T straight H end fraction

straight H straight M straight I straight T straight O straight N straight O equals fraction numerator straight A capital pi straight E straight N straight A straight N straight T straight I     straight K straight A capital theta straight E straight T straight H over denominator capital upsilon capital pi straight O straight T straight E straight I straight N straight O capital upsilon capital sigma straight A end fraction

capital sigma capital upsilon straight N straight H straight M straight I straight T straight O straight N straight O equals fraction numerator capital pi straight P straight O capital sigma straight K straight E straight I straight M straight E straight N straight H     straight K straight A capital theta straight E straight T straight H over denominator capital upsilon capital pi straight O straight T straight E straight I straight N straight O capital upsilon capital sigma straight A end fraction

ορθογώνιο τρίγωνο

 

table attributes columnalign left end attributes row cell epsilon phi straight B equals fraction numerator straight A capital gamma over denominator straight A straight B end fraction equals beta over gamma                         epsilon phi capital gamma space equals fraction numerator straight A straight B over denominator straight A capital gamma end fraction equals gamma over beta end cell row cell eta mu straight B equals fraction numerator straight A capital gamma over denominator capital gamma straight B end fraction equals beta over alpha                         eta mu capital gamma space equals fraction numerator straight A straight B over denominator capital gamma straight B end fraction equals gamma over alpha end cell row cell sigma upsilon nu straight B equals fraction numerator straight A straight B over denominator capital gamma straight B end fraction equals gamma over alpha                         sigma upsilon nu capital gamma space equals fraction numerator straight A capital gamma over denominator capital gamma straight B end fraction equals beta over alpha end cell end table

Γνωρίζουμε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η υποτείνουσα είναι μεγαλύτερη από καθεμία από τις κάθετες πλευρές. Επομένως ισχύουν οι ανισώσεις:  0 < ημω < 1 και 0 < συνω < 1

 

 
  Σχέσεις τριγωνομετρικών αριθμών

Για κάθε γωνία ισχύει ότι epsilon phi omega space equals fraction numerator eta mu omega over denominator sigma upsilon nu omega end fraction         open curly brackets fraction numerator eta mu capital gamma over denominator sigma upsilon nu capital gamma end fraction equals fraction numerator gamma over alpha over denominator beta over alpha end fraction equals fraction numerator gamma space times alpha over denominator beta space times alpha end fraction equals gamma over beta equals epsilon phi capital gamma close curly brackets

Όπως φαίνεται eta mu straight B equals sigma upsilon nu capital gamma space equals fraction numerator straight A capital gamma over denominator capital gamma straight B end fraction equals beta over alpha   και eta mu capital gamma space equals sigma upsilon nu straight B equals fraction numerator straight A straight B over denominator capital gamma straight B end fraction equals gamma over alpha, δηλαδή το ημίτονο μιας γωνίας ισούται με το συνημίτονο της συμπληρωματικής της.

Παρατηρήστε ότι   epsilon phi capital gamma space equals fraction numerator 1 over denominator epsilon phi straight B end fraction, δηλαδή οι εφαπτομένες συμπληρωματικών γωνιών είναι αριθμοί αντίστροφοι, έχουν γινόμενο 1 epsilon phi straight B times epsilon phi capital gamma space equals gamma over beta times beta over gamma equals 1  .

Μεταβολές τριγωνομετρικών αριθμών οξειών γωνιών

Όταν μια οξεία γωνία αυξάνεται↑, τότε: αυξάνεται το ημίτονό↑ της, ελαττώνεται το συνημίτονό↓ της και αυξάνεται η εφαπτομένη↑ της.

Χαρακτηριστικές τιμές τριγωνομετρικών αριθμών οξειών γωνιών

table row blank cell 30 to the power of o end cell cell 45 to the power of o end cell cell 60 to the power of o end cell row cell eta mu end cell cell 1 half end cell cell fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction end cell cell fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction end cell row cell sigma upsilon nu end cell cell fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction end cell cell fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction end cell cell 1 half end cell row cell epsilon phi end cell cell fraction numerator square root of 3 over denominator 3 end fraction end cell 1 cell square root of 3 end cell end table

Δες τον υπολογισμό των τριγωνομετρικών αριθμών σε ισόπλευρο τρίγωνο... εδώ.

Δες τον υπολογισμό των τριγωνομετρικών αριθμών σε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο... εδώ.