Μαθηματικά Β' Γυμνασίου

Μέσος όρος, Μέση τιμή

Για να βρούμε τη μέση τιμή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουμε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούμε με το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών.

Η μέση τιμή δεν μπορεί να είναι μικρότερη από τη μικρότερη των τιμών ή μεγαλύτερη από τη μεγαλύτερη, επηρεάζεται δε σημαντικά από τις μεγάλες τιμές.

λέγεται ένα γράμμα π.χ x,y,z,ω,…( ελληνικό ή λατινικό) που παριστάνει έναν οποιοδήποτε αριθμό.

Χρησιμοποιώντας μεταβλητές "μεταφράζουμε" μια φράση σε Αλγεβρική παράσταση.

Παράδειγμα: Το άθροισμα δύο αριθμών πολλαπλασιασμένο επί 9. Αν συμβολίσουμε τους αριθμούς x και y τότε το άθροισμά τους είναι x+y και η ζητούμενη αλγεβρική παράσταση 9(x+y).

Οι Φυσικοί αριθμοί περιέχονται στους ρητούς αριθμούς
Οι Ακέραιοι αριθμοί περιέχονται στους ρητούς αριθμούς
Οι Ρητοί αριθμοί περιέχονται στους πραγματικούς αριθμούς
Οι Άρρητοι αριθμοί περιέχονται στους πραγματικούς αριθμούς

Άξονας πραγματικών αριθμών

Οι φυσικοί αριθμοί: 0, 1, 2, 3, ... παριστάνονται στη διπλανή ευθεία με σημεία.
Στην αρχή Ο έχουμε τοποθετήσει το μηδέν (0).

Οι ακέραιοι αριθμοί: ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ... παριστάνονται πάλι με σημεία.
Τοποθετούμε στα δεξιά της αρχής Ο τους θετικούς ακέραιους αριθμούς και στα αριστερά τους αρνητικούς.

Το σύνολο των ρητών αριθμών, δηλαδή των αριθμών που μπορούν να γραφούν στη μορφή, όπου μ ακέραιος και ν φυσικός αριθμός. Οι ρητοί αριθμοί έχουν γνωστή δεκαδική μορφή και γεμίζουν την ευθεία, αλλά όχι πλήρως.

Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται όχι μόνο από τους ρητούς αλλά και όλους τους άρρητους.
Οι πραγματικοί αριθμοί καλύπτουν πλήρως την ευθεία, δηλαδή κάθε σημείο της ευθείας αντιστοιχεί σε έναν πραγματικό αριθμό και αντίστροφα κάθε πραγματικός αριθμός αντιστοιχεί σε μοναδικό σημείο της ευθείας.
Για το λόγο αυτό, την ευθεία αυτή την ονομάζουμε ευθεία ή άξονα των πραγματικών αριθμών.

Κάθε πρίσμα έχει:

δύο έδρες παράλληλες, που είναι ίσα πολύγωνα και τις άλλες έδρες του που είναι ορθογώνια παραλληλόγραμμα και ονομάζονται παράπλευρες έδρες.

Οι δύο παράλληλες έδρες του λέγονται βάσεις του πρίσματος.

Οι παράπλευρες έδρες σχηματίζουν την παράπλευρη επιφάνεια του πρίσματος. Οι πλευρές των εδρών του πρίσματος ονομάζονται ακμές.

Περισσότερα...

Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών του.

ΒΓ² = ΑΒ² + ΑΓ² 

α² = β² + γ²

Αντίστροφο Πυθαγόρειο θεώρημα

Αν ισχύει η σχέση  ΚΛ² = ΜΛ² + ΜΚ² μεταξύ των πλευρών ενός τριγώνου ΚΛΜ , τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με ορθή γωνία τη γωνία Μ. 

Περισσότερα

Η πυραμίδα είναι γεωμετρικό στερεό. Είναι πολύεδρο που σχηματίζεται με ένα ν-γωνο ως βάση και ν τριγωνικές πλευρές που συνδέονται σε μια κορυφή.

Περισσότερα...

Οι ρητοί αριθμοί μπορούν να γραφούν σε μορφή κλάσματος με ακέραιους όρους που είναι πρώτοι αριθμοί και παρονομαστή διάφορο του μηδενός.

Μορφή ρητού αριθμού: $$ \frac{ \mu }{ \nu } $$ με ν ≠ 0 κια Μ.Κ.Δ. (μ,ν) =1

Κάθε ρητός αριθμός μπορεί να γραφεί και σε δεκαδική μορφή. Αυτό γίνεται κάνοντας τη διαίρεση μ / ν.

Η διαίρεση αυτή μπορεί

• να ολοκληρωθεί π.χ. $$ \frac{1}{8} $$  = 0,125
• ή όχι π.χ. $$ \frac{1}{7} $$ = 0,142857142857.... Για τη δεύτερη περίπτωση λέμε ότι η δεκαδική γραφή ενός ρητού αριθμού είναι πάντα περιοδική.

Οι Φυσικοί αριθμοί περιέχονται στους ρητούς αριθμούς
Οι Ακέραιοι αριθμοί περιέχονται στους ρητούς αριθμούς

Σφαίρα λέγεται το στερεό σώμα που παράγεται, αν περιστρέψουμε ένα κυκλικό δίσκο (Ο, ρ) γύρω από μία διάμετρό του.

Περισσότερα...

Τετρ. ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετρ. ρίζα του α συμβολίζεται με  $$ \sqrt{ \alpha } $$.

 Ιδιότητες

• $$\sqrt 0  = 0$$
• Η εξίσωση β' βαθμού x²=α έχει δυο λύσεις x = $$ \sqrt{ \alpha } $$ και x = -$$ \sqrt{ \alpha } $$
• $$\sqrt {\alpha  \cdot \beta }  = \sqrt \alpha   \cdot \sqrt \beta  $$
• $$\sqrt {\frac{\alpha }{\beta }}  = \frac{{\sqrt \alpha  }}{{\sqrt \beta  }}$$

Προσοχή!

• $$\sqrt {\alpha  + \beta }  \ne \sqrt \alpha   + \sqrt \beta  $$
• $$\sqrt {\alpha  - \beta }  \ne \sqrt \alpha   - \sqrt \beta  $$

Χρήσιμες ιδιότητες για την απλοποίηση παραστάσεων

Ρίζα δύναμης με άρτιο εκθέτη: $$\sqrt {{\alpha ^{2\nu }}}  = \sqrt {{{\left( {{\alpha ^\nu }} \right)}^2}}  = {\alpha ^\nu }$$

Ρίζα δύναμης με περιττό εκθέτη: $$\sqrt {{\alpha ^{2\nu  + 1}}}  = \sqrt {\alpha  \cdot {\alpha ^{2\nu }}}  = \sqrt \alpha   \cdot {\alpha ^\nu }$$

Ορισμοί

Για τις οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου δίνονται οι εξής ορισμοί.

$${\rm E}\Phi {\rm A}\Pi {\rm T}{\rm O}{\rm M}{\rm E}{\rm N}{\rm H} = \frac{{{\rm A}\Pi {\rm E}{\rm N}{\rm A}{\rm N}{\rm T}{\rm I}\,\,{\rm K}{\rm A}\Theta {\rm E}{\rm T}{\rm H}}}{{\Pi {\rm P}{\rm O}\Sigma {\rm K}{\rm E}{\rm I}{\rm M}{\rm E}{\rm N}{\rm H}\,\,{\rm K}{\rm A}\Theta {\rm E}{\rm T}{\rm H}}}$$

$${\rm H}{\rm M}{\rm I}{\rm T}{\rm O}{\rm N}{\rm O} = \frac{{{\rm A}\Pi {\rm E}{\rm N}{\rm A}{\rm N}{\rm T}{\rm I}\,\,{\rm K}{\rm A}\Theta {\rm E}{\rm T}{\rm H}}}{{\Upsilon \Pi {\rm O}{\rm T}{\rm E}{\rm I}{\rm N}{\rm O}\Upsilon \Sigma {\rm A}}}$$

$$\Sigma \Upsilon {\rm N}{\rm H}{\rm M}{\rm I}{\rm T}{\rm O}{\rm N}{\rm O} = \frac{{\Pi {\rm P}{\rm O}\Sigma {\rm K}{\rm E}{\rm I}{\rm M}{\rm E}{\rm N}{\rm H}\,\,{\rm K}{\rm A}\Theta {\rm E}{\rm T}{\rm H}}}{{\Upsilon \Pi {\rm O}{\rm T}{\rm E}{\rm I}{\rm N}{\rm O}\Upsilon \Sigma {\rm A}}}$$

$$\begin{array}{l}\varepsilon \varphi {\rm B} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{{\rm A}{\rm B}}} = \frac{\beta }{\gamma }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\varepsilon \varphi \Gamma  = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{{\rm A}\Gamma }} = \frac{\gamma }{\beta }\\\eta \mu {\rm B} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{\Gamma {\rm B}}} = \frac{\beta }{\alpha }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\eta \mu \Gamma  = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{\Gamma {\rm B}}} = \frac{\gamma }{\alpha }\\\sigma \upsilon \nu {\rm B} = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{\Gamma {\rm B}}} = \frac{\gamma }{\alpha }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sigma \upsilon \nu \Gamma  = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{\Gamma {\rm B}}} = \frac{\beta }{\alpha }\end{array}$$

Γνωρίζουμε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η υποτείνουσα είναι μεγαλύτερη από καθεμία από τις κάθετες πλευρές. Επομένως ισχύουν οι ανισώσεις:  0 < ημω < 1 και 0 < συνω < 1

  Σχέσεις τριγωνομετρικών αριθμών

Για κάθε γωνία ισχύει ότι $$\varepsilon \varphi \omega  = \frac{{\eta \mu \omega }}{{\sigma \upsilon \nu \omega }}\,\,\,\,\left\{ {\frac{{\eta \mu \Gamma }}{{\sigma \upsilon \nu \Gamma }} = \frac{{\frac{\gamma }{\alpha }}}{{\frac{\beta }{\alpha }}} = \frac{{\gamma  \cdot \alpha }}{{\beta  \cdot \alpha }} = \frac{\gamma }{\beta } = \varepsilon \varphi \Gamma } \right\}$$

Όπως φαίνεται $$\eta \mu {\rm B} = \sigma \upsilon \nu \Gamma  = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{\Gamma {\rm B}}} = \frac{\beta }{\alpha }\,$$ και $$\eta \mu \Gamma  = \sigma \upsilon \nu {\rm B} = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{\Gamma {\rm B}}} = \frac{\gamma }{\alpha }$$, δηλαδή το ημίτονο μιας γωνίας ισούται με το συνημίτονο της συμπληρωματικής της.

Παρατηρήστε ότι $$\,\varepsilon \varphi \Gamma  = \frac{1}{{\varepsilon \varphi {\rm B}}}$$, δηλαδή οι εφαπτομένες συμπληρωματικών γωνιών είναι αριθμοί αντίστροφοι, έχουν γινόμενο 1 $$\varepsilon \varphi {\rm B} \cdot \varepsilon \varphi \Gamma  = \frac{\gamma }{\beta } \cdot \frac{\beta }{\gamma } = 1\,$$.

Μεταβολές τριγωνομετρικών αριθμών οξειών γωνιών

Όταν μια οξεία γωνία αυξάνεται↑, τότε: αυξάνεται το ημίτονό↑ της, ελαττώνεται το συνημίτονό↓ της και αυξάνεται η εφαπτομένη↑ της.

Χαρακτηριστικές τιμές τριγωνομετρικών αριθμών οξειών γωνιών

$$\begin{array}{ccccccccccccccc}{}&{{{30}^o}}&{{{45}^o}}&{{{60}^o}}\\{\eta \mu }&{\frac{1}{2}}&{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}&{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\{\sigma \upsilon \nu }&{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}&{\frac{1}{2}}\\{\varepsilon \varphi }&{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}&1&{\sqrt 3 }\end{array}$$