Δυνάμεις ρητών αριθμών με φυσικό εκθέτη

 

 

 

•  Για ν = 1, γράφουμε α⁰ = 1
• Για ν = 1, γράφουμε α¹ = α
• Η δύναμη α^ν διαβάζεται και νιοστή δύναμη του α.
• Η δύναμη α² λέγεται και τετράγωνο του α ή α στο τετράγωνο.
• Η δύναμη α³ λέγεται κύβος του α ή α στον κύβο.

Πρόσημο δύναμης

• Δύναμη με βάση θετικό αριθμό είναι θετικός αριθμός.  Αν α > 0, τότε α^ν > 0,  (+2)³ = +2³
• Δύναμη με βάση αρνητικό αριθμό και εκθέτη άρτιο είναι θετικός αριθμός. Αν α < 0 και ν άρτιος, τότε α^ν> 0,  (-2)⁴ = +2⁴
• Δύναμη με βάση αρνητικό αριθμό και εκθέτη περιττό είναι αρνητικός αριθμός. Αν α < 0 και ν περιττός, τότε α^ν< 0,  (-2)³ = -2³

Δυνάμεις ρητών αριθμών με ακέραιο εκθέτη

• Η δύναμη κάθε αριθμού, διάφορου του μηδενός, με εκθέτη αρνητικό είναι ίση με δύναμη μου έχει βάση τον αντίστροφο αριθμό  με αντίθετο εκθέτη.  

$$\left( \frac{ \alpha }{ \beta } \right)^{-\ ν}$$=$$\left( \frac{ \beta }{ \alpha } \right)^{\ ν}$$ , $$\left( \frac{ 2 }{ 3 } \right)^{-\ 5}$$=$$\left( \frac{ 3 }{ 2 } \right)^{\ 5}$$

 

Ιδιότητες δυνάμεων

• Για να πολλαπλασιάσουμε δυνάμεις με την ίδια βάση, αφήνουμε την ίδια βάση και βάζουμε εκθέτη το άθροισμα των εκθετών. α^μ · α^ν = α^μ+ν

 3² · 3³ = 3⁵,   3² · 3^- 3 = 3^{- 1} = $$ \frac{1}{3} $$

• Για να διαιρέσουμε δυνάμεις με την ίδια βάση, αφήνουμε την ίδια βάση και βάζουμε εκθέτη τη διαφορά του εκθέτη του διαιρέτη από τον εκθέτη του διαιρετέου. α^μ : α^ν = α^{μ - ν} 

3² : 3³ = 3^-1 = $$ \frac{1}{3} $$,   3² : 3^- 3 = 3^{2 - (-3)} = 3⁵

• Για να υψώσουμε ένα γινόμενο σε εκθέτη, υψώνουμε κάθε παράγοντα του γινομένου στον εκθέτη αυτό. (α · β)^μ =  α^μ · β^μ

(2 · 3)⁵ =  2⁵ · 3⁵,  2⁵ · 3⁵ = (2 · 3)⁵ = 6⁵

• Για να υψώσουμε ένα πηλίκο σε έναν εκθέτη, υψώνουμε καθένα από τους όρους του πηλίκου στον εκθέτη αυτό. $$\left( \frac{ \alpha }{ \beta } \right)^{ \nu }$$ = $$ \frac{ \alpha ^{ \nu }}{ \beta ^{ \nu }} $$

$$ \frac{4}{25} = \frac{2^{2}}{5^{2}} =\left( \frac{2}{5} \right)^{2}$$

• Για να υψώσουμε μία δύναμη σε έναν εκθέτη, υψώνουμε τη βάση της δύναμης στο γινόμενο των εκθετών. $$\left( \alpha ^{ \mu }\right)^{ \nu }= \alpha ^{ \mu \cdot \nu }$$

$$4^{3}=\left(2^{2}\right)^{3}=2^{6}$$