Μια αλγεβρική παράσταση λέγεται Πολυώνυμο, όταν μεταξύ των μεταβλητών της

• σημειώνονται μόνο οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, είναι άθροισμα μονωνύμων.
• οι εκθέτες των μεταβλητών της είναι φυσικοί αριθμοί.
• Βρίσκεται στην ανηγμένη μορφή, δηλαδή έχουν ολοκληρωθεί οι αναγωγές ομοίων όρων. 

Για παράδειγμα η παράσταση $$2{x^2}y + 3{x^2}y - x{y^2} - 2x{y^2}$$ είναι το πολυώνυμο $$5{x^2}y - 3x{y^2}$$.

Ορολογία

• Όρος λέγεται κάθε μονώνυμο του πολυωνύμου.
• Διώνυμο ονομάζεται το πολυώνυμο με δυο όρους, $${x^2} - {y^2}$$.
• Διώνυμο ονομάζεται το πολυώνυμο με τρεις όρους,$${x^2} - 2xy + {y^2}$$.

.

• Βαθμός  ενός πολυωνύμου ως προς μία ή περισσότερες μεταβλητές του, είναι ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς των όρων του.

   

   

• Ίσα είναι τα πολυώνυμα που έχουν ίσα μονώνυμα. $${x^2} - 2xy + {y^2}$$ = $$a{x^2} + \beta xy + \gamma {y^2}$$, αν $$a = 1$$ & $$\beta  =  - 2$$ & $$\gamma  = 1$$
• Αντίθετα είναι  τα πολυώνυμα που έχουν μονώνυμα με αντίθετους συντελεστές  Τα πολυώνυμα $${x^2} - 2xy + {y^2}$$ και $$a{x^2} + \beta xy + \gamma {y^2}$$ είναι αντίθετα αν $$a = -1$$ & $$\beta  =   2$$ & $$\gamma  = -1$$
  

 

• Σταθερό πολυώνυμο είναι κάθε αριθμός. Είναι πολυώνυμο μηδενικού βαθμού.
• Μηδενικό πολυώνυμο είναι το μηδέν. Δεν ορίζεται βαθμός.
• Πολυώνυμο μιας μεταβλητής
  • Το πολυώνυμο $$ - 3x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{x^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}5$$ έχει μία μεταβλητή την x και για συντομία συμβολίζεται P(x) ή Q(x) ή A(x) κ.τ.λ.
  • Μπορούμε να το γράψουμε έτσι, ώστε κάθε όρος του να είναι μεγαλύτερου βαθμού από τον επόμενό του.Δηλαδή, P(x) =$$2{x^2}{\rm{ }} - {\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }}5$$. Τότε, λέμε, ότι γράφουμε το πολυώνυμο κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του x. 
  • H αριθμητική τιμή του πολυώνυμου P(x) για x = 5, συμβολίζεται με P(5) και είναι: P(5) = 2·5²- 3·5 + 5 = 50 - 15 + 5 = 40.

 Πράξεις πολυωνύμων

Μπορούμε να προσθέσουμε, να αφαιρέσουμε, ή να πολλαπλασιάσουμε πολυώνυμα, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών, όπως φαίνεται στα επόμενα παραδείγματα:

Για το βαθμό του αθροίσματος και του γινομένου δυο πολυωνύμων ισχύει ότι:

• Αν το άθροισμα δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι μη μηδενικό πολυώνυμο, τότε ο βαθμός του είναι ίσος ή μικρότερος από το μέγιστο των βαθμών των δυο πολυωνύμων.
• Ο βαθμός του γινομένου δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το άθροισμα των βαθμών των πολυωνύμων αυτών. 

Διαίρεση

• Αν έχουμε δύο πολυώνυμα Δ(x) (διαιρετέος) και δ(x) (διαιρέτης) με δ (x) ≠ 0 και
• κάνουμε την διαίρεση Δ(x) : δ(x) ,
• τότε βρίσκουμε ένα μοναδικό ζεύγος πολυωνύμων
• π(x) (πηλίκο) και υ(x) (υπόλοιπο) ,
• για τα οποία ισχύει:
• Δ(x) = δ(x) π(x) + υ(x) (Ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης), όπου το υ(x) ή είναι ίσο με μηδέν ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του δ(x).

Δείτε  παραδείγματα διαίρεσης