Μια αλγεβρική παράσταση λέγεται Πολυώνυμο, όταν μεταξύ των μεταβλητών της
- σημειώνονται μόνο οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, είναι άθροισμα μονωνύμων.
- οι εκθέτες των μεταβλητών της είναι φυσικοί αριθμοί.
- Βρίσκεται στην ανηγμένη μορφή, δηλαδή έχουν ολοκληρωθεί οι αναγωγές ομοίων όρων.
Για παράδειγμα η παράσταση $$2{x^2}y + 3{x^2}y - x{y^2} - 2x{y^2}$$ είναι το πολυώνυμο $$5{x^2}y - 3x{y^2}$$.
Ορολογία
- Όρος λέγεται κάθε μονώνυμο του πολυωνύμου.
- Διώνυμο ονομάζεται το πολυώνυμο με δυο όρους, $${x^2} - {y^2}$$.
- Διώνυμο ονομάζεται το πολυώνυμο με τρεις όρους,$${x^2} - 2xy + {y^2}$$.
.
- Βαθμός ενός πολυωνύμου ως προς μία ή περισσότερες μεταβλητές του, είναι ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς των όρων του.
- Ίσα είναι τα πολυώνυμα που έχουν ίσα μονώνυμα. $${x^2} - 2xy + {y^2}$$ = $$a{x^2} + \beta xy + \gamma {y^2}$$, αν $$a = 1$$ & $$\beta = - 2$$ & $$\gamma = 1$$
- Αντίθετα είναι τα πολυώνυμα που έχουν μονώνυμα με αντίθετους συντελεστές Τα πολυώνυμα $${x^2} - 2xy + {y^2}$$ και $$a{x^2} + \beta xy + \gamma {y^2}$$ είναι αντίθετα αν $$a = -1$$ & $$\beta = 2$$ & $$\gamma = -1$$
- Σταθερό πολυώνυμο είναι κάθε αριθμός. Είναι πολυώνυμο μηδενικού βαθμού.
- Μηδενικό πολυώνυμο είναι το μηδέν. Δεν ορίζεται βαθμός.
- Πολυώνυμο μιας μεταβλητής
- Το πολυώνυμο $$ - 3x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{x^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}5$$ έχει μία μεταβλητή την x και για συντομία συμβολίζεται P(x) ή Q(x) ή A(x) κ.τ.λ.
- Μπορούμε να το γράψουμε έτσι, ώστε κάθε όρος του να είναι μεγαλύτερου βαθμού από τον επόμενό του.Δηλαδή, P(x) =$$2{x^2}{\rm{ }} - {\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }}5$$. Τότε, λέμε, ότι γράφουμε το πολυώνυμο κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του x.
- H αριθμητική τιμή του πολυώνυμου P(x) για x = 5, συμβολίζεται με P(5) και είναι: P(5) = 2·52- 3·5 + 5 = 50 - 15 + 5 = 40.
Πράξεις πολυωνύμων
Μπορούμε να προσθέσουμε, να αφαιρέσουμε, ή να πολλαπλασιάσουμε πολυώνυμα, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών, όπως φαίνεται στα επόμενα παραδείγματα:
Πρόσθεση
(x3 + 2x2 - 5x + 7) + (4x3 - 5x2 + 3) =
= x3 + 2x2 - 5x + 7 + 4x3 - 5x2 + 3 =
= (1 + 4)x3 + (2 - 5)x2 - 5x + (7 + 3) =
= 5x3 - 3x2 - 5x + 10 [Πολυώνυμο 3ου βαθμού]
(2x3 - x2 + 1) + (-2x3 + 2x - 3) =
= 2x3 - x2 + 1 - 2x3 + 2x - 3 =
= -x2 + 2x - 2 [Πολυώνυμο 2ου βαθμού]
(x3 - 3x2 - 1) + (-x3 + 3x2 + 1) =
= x3 - 3x2 - 1 - x3 + 3x2 + 1 = 0 [Μηδενικό πολυώνυμο]
Αφαίρεση
(x3 + 2x2 - 5x + 7) - (4x3 - 5x2 + 3)
= x3 + 2 x2 - 5x + 7 - 4x3 + 5x2 - 3
= -3x3 + 7x2 - 5x + 4 [Πολυώνυμο 3ου βαθμού]
Πολλαλασιασμός
(x2 + 5x)(2x3 + 3x - 1) =
= x2(2x3 + 3x - 1) + 5x(2x3 + 3x - 1)
= 2x5 + 3x3 - x2 + 10x4 + 15x2 - 5x
= 2x5 + 10x4 + 3x3 + 14x2 - 5x [Πολυώνυμο 5ου βαθμού]
Για το βαθμό του αθροίσματος και του γινομένου δυο πολυωνύμων ισχύει ότι:
- Αν το άθροισμα δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι μη μηδενικό πολυώνυμο, τότε ο βαθμός του είναι ίσος ή μικρότερος από το μέγιστο των βαθμών των δυο πολυωνύμων.
- Ο βαθμός του γινομένου δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το άθροισμα των βαθμών των πολυωνύμων αυτών.
Διαίρεση
- Αν έχουμε δύο πολυώνυμα Δ(x) (διαιρετέος) και δ(x) (διαιρέτης) με δ (x) ≠ 0 και
- κάνουμε την διαίρεση Δ(x) : δ(x) ,
- τότε βρίσκουμε ένα μοναδικό ζεύγος πολυωνύμων
- π(x) (πηλίκο) και υ(x) (υπόλοιπο) ,
- για τα οποία ισχύει:
- Δ(x) = δ(x) π(x) + υ(x) (Ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης), όπου το υ(x) ή είναι ίσο με μηδέν ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του δ(x).
Δείτε παραδείγματα διαίρεσης